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Popular Trigonometría >

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,0<= x<= 2pi

Solución

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Solución

2 π - \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π - \frac{π}{6}

Notación de intervalos

[2 π - \frac{5 π}{6}, 2 π - \frac{π}{6}]

Decimal

3.66519 \dots \leq x \leq 5.75958 \dots

Pasos de solución

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

Factorizar

2 u^{2} - 5 u - 3 : (2 u + 1) (u - 3)

2 u^{2} - 5 u - 3

Factorizar la expresión

2 u^{2} - 5 u - 3

Definición

Factores de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

6 : 2, 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

6

1, 6

Divisores de

6

1, 2, 3, 6

Factores negativos de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6

Por cada dos factores tales que

u * v = - 6,

revisar si

u + v = - 5

Revisar

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 6

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

= (2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

Factorizar

u

2 u^{2} + u

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u + 1)

Factorizar

- 3

- 6 u - 3

- 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Reescribir

6

como

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Factorizar el termino común

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Factorizar el termino común

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 3)

(2 u + 1) (u - 3) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u + 1) (u - 3)

Encontrar los signos de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 3

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

Desplace

3

a la derecha

u - 3 < 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

Desplace

3

a la derecha

u - 3 > 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

u > 3

u > 3

Resumir en una tabla:

2 u + 1 u - 3 (2 u + 1) (u - 3) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 3 + - - u = 3 + 00 u > 3 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - \frac{1}{2}

u = 3

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

u > 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) \leq - \frac{1}{2} or sin (x) \geq 3

sin (x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Simplificar

- π - (- \frac{π}{6})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Sumar elementos similares:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq 3 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) \geq 3

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq 3

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq 2 π

2 π - \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π - \frac{π}{6}

Gráfica

Ejemplos populares

tan(2x)<sqrt(3)

2cos(x)+1<= 0

5sin(x)<3,0<= x<= 2pi

sqrt(3)sin(x)-cos(x)>0

2cos(x)+1<0