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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)<=-sin(x)-2

Solution

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Solution

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

Décimale

x = - 1.57079 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Déplacer

sin (x)

vers la gauche

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Ajouter

sin (x)

aux deux côtés

cos (2 x) + sin (x) \leq - sin (x) - 2 + sin (x)

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) \leq - 2

Soit :

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2 : u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

Récrire sous la forme standard

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

Ajouter

2

aux deux côtés

1 - 2 u^{2} + u + 2 \leq - 2 + 2

Simplifier

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

Factoriser

- 2 u^{2} + u + 3 : - (u + 1) (2 u - 3)

- 2 u^{2} + u + 3

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 u^{2} - u - 3)

Factoriser

2 u^{2} - u - 3 : (u + 1) (2 u - 3)

2 u^{2} - u - 3

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} - u - 3

Définition

Facteurs de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

6 : 2, 3

6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

6

lui-même

1, 6

Les facteurs de

6

1, 2, 3, 6

Facteurs négatifs de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 6

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 6,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 3

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

= (2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

Factoriser

2 u

depuis

2 u^{2} + 2 u : 2 u (u + 1)

2 u^{2} + 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + 2 u

Factoriser le terme commun

2 u

= 2 u (u + 1)

Factoriser

- 3

depuis

- 3 u - 3 : - 3 (u + 1)

- 3 u - 3

Factoriser le terme commun

- 3

= - 3 (u + 1)

= 2 u (u + 1) - 3 (u + 1)

Factoriser le terme commun

u + 1

= (u + 1) (2 u - 3)

= - (u + 1) (2 u - 3)

- (u + 1) (2 u - 3) \leq 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- (u + 1) (2 u - 3)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Simplifier

(u + 1) (2 u - 3) \geq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(u + 1) (2 u - 3)

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Trouver les signes de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 u < 3

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 u > 3

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Récapituler dans un tableau:

u + 1 2 u - 3 (u + 1) (2 u - 3) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u < - 1

u = - 1

u \leq - 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 1

u = \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) \leq - 1 or sin (x) \geq \frac{3}{2}

sin (x) \leq - 1 : x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \leq - 1

Pour

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 1) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- 1) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

- π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= - π - (- \frac{π}{2})

Simplifier

- π - (- \frac{π}{2})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{2}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π}{2}

Additionner les éléments similaires :

- 2 π + π = - π

= \frac{- π}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Simplifier

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{2} + 2 πn

Simplifier

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{3}{2} :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) \geq \frac{3}{2}

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

x = - \frac{π}{2} + 2 πn or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

Exemples populaires

sin(x)*cos(2x)>0

sin (x) \cdot cos (2 x) > 0

cos^2(x)> 3/4

cos^{2} (x) > \frac{3}{4}

(3sin(x)-sqrt(3)cos(x))/(2cos(x)+1)<0

\frac{3 sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2 cos ( x ) + 1} < 0

sin(x)-cos(x)+1>= 0

sin (x) - cos (x) + 1 \geq 0

cos(x)>-2

cos (x) > - 2