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Popular Trigonometría >

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)<1

Solución

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

Solución

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Notación de intervalos

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

Decimal

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

Pasos de solución

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

Sea:

u = 3 x

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1 : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1

Usar la siguiente identidad:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < 1

Simplificar

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < 1

Periodicidad de

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

Periodicidad de

2 cos^{2} (u) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (u) : 2 π

La periodicidad de

cos (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Periodicidad de

23 cos (u) sin (u) : π

23 cos (u) sin (u)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (u)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Combinar períodos:

π, π

= π

Factorizar

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

Factorizar el termino común

2 cos (u)

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < 1

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Resolver

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

para

0 \leq u < π

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Soluciones generales para

cos (u) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (u) + 3 sin (u) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (u), cos (u) \neq = 0

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

Simplificar

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

Desplace

1

a la derecha

1 + 3 tan (u) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

Simplificar

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

Dividir ambos lados entre

3

3 tan (u) = - 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 tan ( u )}{3} : tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

Eliminar los terminos comunes:

3

= tan (u)

Simplificar

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Racionalizar

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

Soluciones generales para

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq u < π

u = \frac{5 π}{6}

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Los intervalos entre ceros

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Resumir en una tabla:

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

Utilizar la periodicidad de

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

Sustituir en la ecuación

3 x = u

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

Intercambiar lados

3 x > \frac{π}{2} + πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x > \frac{π}{2} + πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

Combinar los rangos

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Ejemplos populares

2cos^2(x)-cos(x)-1<0

sin(x/2)>0

solvefor x,tan(x)<= 1

tan(x)<tan(pi/4)

cos(x)>= 1