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Populaire Trigonométrie >

3tan^2(x)+sqrt(3)tan(x)<= 0

Solution

3 tan^{2} (x) + 3 tan (x) \leq 0

Solution

\frac{5 π}{6} + πn \leq x < π + πn

La notation des intervalles

[\frac{5 π}{6} + πn, π + πn)

Décimale

2.61799 \dots + πn \leq x < 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

3 tan^{2} (x) + 3 tan (x) \leq 0

Soit :

u = tan (x)

3 u^{2} + 3 u \leq 0

3 u^{2} + 3 u \leq 0 : - \frac{3}{3} \leq u \leq 0

3 u^{2} + 3 u \leq 0

Factoriser

3 u^{2} + 3 u : u (3 u + 3)

3 u^{2} + 3 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu + 3 u

Factoriser le terme commun

u

= u (3 u + 1 \cdot 3)

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= u (3 u + 3)

u (3 u + 3) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (3 u + 3)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

3 u + 3

3 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

3 u + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

3 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

3 u = - 3

3 u = - 3

Diviser les deux côtés par

3

3 u = - 3

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 3}{3}

Simplifier

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

3 u + 3 < 0 : u < - \frac{3}{3}

3 u + 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

3 u + 3 < 0

Soustraire

3

des deux côtés

3 u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplifier

3 u < - 3

3 u < - 3

Diviser les deux côtés par

3

3 u < - 3

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 3}{3}

Simplifier

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

3 u + 3 > 0 : u > - \frac{3}{3}

3 u + 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

3 u + 3 > 0

Soustraire

3

des deux côtés

3 u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplifier

3 u > - 3

3 u > - 3

Diviser les deux côtés par

3

3 u > - 3

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 3}{3}

Simplifier

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

Récapituler dans un tableau:

u 3 u + 3 u (3 u + 3) u < - \frac{3}{3} - - + u = - \frac{3}{3} - 00 - \frac{3}{3} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

u = - \frac{3}{3} or - \frac{3}{3} < u < 0 or u = 0

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{3}{3} \leq u < 0 or u = 0

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u = - \frac{3}{3}

- \frac{3}{3} < u < 0

- \frac{3}{3} \leq u < 0

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- \frac{3}{3} \leq u < 0

u = 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

Remplacer

u = tan (x)

- \frac{3}{3} \leq tan (x) \leq 0

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- \frac{3}{3} \leq tan (x) and tan (x) \leq 0

- \frac{3}{3} \leq tan (x) : - \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

- \frac{3}{3} \leq tan (x)

Transposer les termes des côtés

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

tan (x) \geq a

alors

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- \frac{3}{3}) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Simplifier

arctan (- \frac{3}{3}) : - \frac{π}{6}

arctan (- \frac{3}{3})

Utiliser la propriété suivante :

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- \frac{3}{3}) = - arctan (\frac{3}{3})

= - arctan (\frac{3}{3})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) \leq 0 : - \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

tan (x) \leq 0

tan (x) \leq a

alors

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (0) + πn

Simplifier

arctan (0) : 0

arctan (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arctan (0) = 0

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= 0

- \frac{π}{2} + πn < x \leq 0 + πn

Simplifier

- \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

Réunir les intervalles

- \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{5 π}{6} + πn \leq x < π + πn

Exemples populaires

tan(5x)<= 1

tan (5 x) \leq 1

(-1)/(16)sec^3(t)>0

\frac{- 1}{16} sec^{3} (t) > 0

cos(x)<= sin(x)

cos (x) \leq sin (x)

2sin(t)>0

2 sin (t) > 0

1-tan(x)<= 0

1 - tan (x) \leq 0