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tan^2(x)-3tan(x)+2<0

解

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

解

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

+2

区間表記

(\frac{π}{4} + πn, arctan (2) + πn)

十進法表記

0.78539 \dots + πn < x < 1.10714 \dots + πn

解答ステップ

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

仮定:

u = tan (x)

u^{2} - 3 u + 2 < 0

u^{2} - 3 u + 2 < 0 : 1 < u < 2

u^{2} - 3 u + 2 < 0

因数

u^{2} - 3 u + 2 : (u - 1) (u - 2)

u^{2} - 3 u + 2

式をグループに分ける

u^{2} - 3 u + 2

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 3

以下をチェックする:

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

真

u = - 1, v = - 2

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

= (u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

u

を

u^{2} - u : u (u - 1)

からくくり出す

u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (u - 1)

- 2

を

- 2 u + 2 : - 2 (u - 1)

からくくり出す

- 2 u + 2

共通項をくくり出す

- 2

= - 2 (u - 1)

= u (u - 1) - 2 (u - 1)

共通項をくくり出す

u - 1

= (u - 1) (u - 2)

(u - 1) (u - 2) < 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(u - 1) (u - 2)

以下の符号を求める:

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

1

を右側に移動します

u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

1

を右側に移動します

u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

u > 1

u > 1

以下の符号を求める:

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

2

を右側に移動します

u - 2 = 0

両辺に

2

を足す

u - 2 + 2 = 0 + 2

簡素化

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

2

を右側に移動します

u - 2 < 0

両辺に

2

を足す

u - 2 + 2 < 0 + 2

簡素化

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

2

を右側に移動します

u - 2 > 0

両辺に

2

を足す

u - 2 + 2 > 0 + 2

簡素化

u > 2

u > 2

表で要約する:

u - 1 u - 2 (u - 1) (u - 2) u < 1 - - + u = 1 0 - 0 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

< 0

1 < u < 2

1 < u < 2

1 < u < 2

代用を戻す

u = tan (x)

1 < tan (x) < 2

a < u < b

の場合は

a < u and u < b

1 < tan (x) and tan (x) < 2

1 < tan (x) : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

1 < tan (x)

辺を交換する

tan (x) > 1

tan (x) > a

の場合は

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

簡素化

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

次の自明恒等式を使用する:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 2 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

tan (x) < 2

tan (x) < a

の場合は

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

区間を組み合わせる

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

人気の例

solvefor x,arctan(|x-y|)>0

so l v e f or x, arctan (∣ x - y ∣) > 0

cot^{2} (2 t) < 0

solvefor x,sin(((x))/(cos(y)))>0

so l v e f or x, sin (\frac{( x )}{cos ( y )}) > 0

-5(sin(x)+cos(x))>0

- 5 (sin (x) + cos (x)) > 0

- sin (x) \leq 1