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Popular Trigonometría >

tan^2(x)-3tan(x)+2<0

Solución

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Solución

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{4} + πn, arctan (2) + πn)

Decimal

0.78539 \dots + πn < x < 1.10714 \dots + πn

Pasos de solución

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Sea:

u = tan (x)

u^{2} - 3 u + 2 < 0

u^{2} - 3 u + 2 < 0 : 1 < u < 2

u^{2} - 3 u + 2 < 0

Factorizar

u^{2} - 3 u + 2 : (u - 1) (u - 2)

u^{2} - 3 u + 2

Factorizar la expresión

u^{2} - 3 u + 2

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = 2,

revisar si

u + v = - 3

Revisar

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadero

u = - 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

= (u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

Factorizar

u

u^{2} - u

u (u - 1)

u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (u - 1)

Factorizar

- 2

- 2 u + 2

- 2 (u - 1)

- 2 u + 2

Factorizar el termino común

- 2

= - 2 (u - 1)

= u (u - 1) - 2 (u - 1)

Factorizar el termino común

u - 1

= (u - 1) (u - 2)

(u - 1) (u - 2) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u - 1) (u - 2)

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Encontrar los signos de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 < 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplificar

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 > 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplificar

u > 2

u > 2

Resumir en una tabla:

u - 1 u - 2 (u - 1) (u - 2) u < 1 - - + u = 1 0 - 0 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

1 < u < 2

1 < u < 2

1 < u < 2

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

1 < tan (x) < 2

a < u < b

entonces

a < u and u < b

1 < tan (x) and tan (x) < 2

1 < tan (x) : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

1 < tan (x)

Intercambiar lados

tan (x) > 1

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 2 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

tan (x) < 2

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Combinar los rangos

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

Ejemplos populares

solvefor x,arctan(|x-y|)>0

cot^2(2t)<0

solvefor x,sin(((x))/(cos(y)))>0

-5(sin(x)+cos(x))>0

-sin(x)<= 1