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Beliebt Trigonometrie >

cos(arctan(5/7)+arctan(1/6))

Lösung

cos (arctan (\frac{5}{7}) + arctan (\frac{1}{6}))

Lösung

\frac{2}{2}

Dezimale

0.70710 \dots

Schritte zur Lösung

cos (arctan (\frac{5}{7}) + arctan (\frac{1}{6}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

arctan (\frac{5}{7}) + arctan (\frac{1}{6}) = arctan (1)

arctan (\frac{5}{7}) + arctan (\frac{1}{6})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{5}{7} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{6}})

Vereinfache:

\frac{\frac{5}{7} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{6}} = 1

\frac{\frac{5}{7} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{6}}

\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{42}

\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{6}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{5 \cdot 1}{7 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= \frac{5}{7 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 6 = 42

= \frac{5}{42}

= \frac{\frac{5}{7} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{5}{42}}

Füge

\frac{5}{7} + \frac{1}{6}

zusammen:

\frac{37}{42}

\frac{5}{7} + \frac{1}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

7, 6 : 42

7, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

7 : 7

7

7

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 7

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

7

oder

6

vorkommt

= 7 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 \cdot 3 = 42

= 42

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

42

Für

\frac{5}{7} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

6

\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}

Für

\frac{1}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

7

\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}

= \frac{30}{42} + \frac{7}{42}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{30 + 7}{42}

Addiere die Zahlen:

30 + 7 = 37

= \frac{37}{42}

= \frac{\frac{37}{42}}{1 - \frac{5}{42}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{37}{42 ( 1 - \frac{5}{42} )}

Füge

1 - \frac{5}{42}

zusammen:

\frac{37}{42}

1 - \frac{5}{42}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 42}{42}

= \frac{1 \cdot 42}{42} - \frac{5}{42}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 42 - 5}{42}

1 \cdot 42 - 5 = 37

1 \cdot 42 - 5

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 42 = 42

= 42 - 5

Subtrahiere die Zahlen:

42 - 5 = 37

= 37

= \frac{37}{42}

= \frac{37}{42 \cdot \frac{37}{42}}

Multipliziere

42 \cdot \frac{37}{42} : 37

42 \cdot \frac{37}{42}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{37 \cdot 42}{42}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

42

= 37

= \frac{37}{37}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= arctan (1)

= cos (arctan (1))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arctan (1)) = \frac{1 + 1 ^{2}}{1 + 1 ^{2}}

Verwende die folgende Identität:

cos (arctan (x)) = \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{2}}

= \frac{1 + 1 ^{2}}{1 + 1 ^{2}}

= \frac{1 + 1 ^{2}}{1 + 1 ^{2}}

Vereinfache

= \frac{2}{2}

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