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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)>sin^2(x)-2

Lösung

cos (2 x) > sin^{2} (x) - 2

Lösung

πn \leq x < 0.61547 \dots + πn or - 0.61547 \dots + π + πn < x \leq π + πn

Intervall-Notation

[πn, 0.61547 \dots + πn) \cup (- 0.61547 \dots + π + πn, π + πn]

Dezimale

πn \leq x < 0.61547 \dots + πn or 2.52611 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

Schritte zur Lösung

cos (2 x) > sin^{2} (x) - 2

Verschiebe

sin^{2} (x)

auf die linke Seite

cos (2 x) > sin^{2} (x) - 2

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

cos (2 x) - sin^{2} (x) > sin^{2} (x) - 2 - sin^{2} (x)

cos (2 x) - sin^{2} (x) > - 2

cos (2 x) - sin^{2} (x) > - 2

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - sin^{2} (x) > - 2

Vereinfache

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) > - 2

Periodizität von

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) : π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

cos^{2} (x), 2 sin^{2} (x)

Periodizität von

cos^{2} (x) : π

Periodizität von

cos^{n} (x) = \frac{Periodizit a ¨ t von cos ( x )}{2},

wenn n gerade ist

Periodizität von

cos (x) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Vereinfache

π

Periodizität von

2 sin^{2} (x) : π

Periodizität von

sin^{n} (x) = \frac{Periodizit a ¨ t von sin ( x )}{2},

wenn n gerade ist

Periodizität von

sin (x) : 2 π

Die Periodizität von

sin (x)

ist

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Vereinfache

π

Kombiniere Perioden:

π, π

= π

Faktorisiere

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) : (cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x))

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

Schreibe

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

um:

cos^{2} (x) - (2 sin (x))^{2}

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= cos^{2} (x) - (2)^{2} sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (2 sin (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (2 sin (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - (2 sin (x))^{2} = (cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x))

= (cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x))

(cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x)) > - 2

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

(cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x)) = 0

Stelle

(cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x)) = 0

nach

0 \leq x < π

(cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) + 2 sin (x) = 0 : x = - 0.61547 \dots + π

cos (x) + 2 sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) + 2 sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) + 2 sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 + \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 2 tan (x) = 0

1 + 2 tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 tan (x) = - 1

2 tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 tan ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 tan ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 tan ( x )}{2} : tan (x)

\frac{2 tan ( x )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= tan (x)

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

tan (x) = - \frac{2}{2}

tan (x) = - \frac{2}{2}

tan (x) = - \frac{2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{2}{2}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{2}{2}) + πn

x = arctan (- \frac{2}{2}) + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = - arctan (\frac{2}{2}) + π

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.61547 \dots + π

cos (x) - 2 sin (x) = 0 : x = 0.61547 \dots

cos (x) - 2 sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - 2 sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - 2 sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 - \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - 2 tan (x) = 0

1 - 2 tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 tan (x) = - 1

- 2 tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 tan ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 tan ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 tan ( x )}{- 2} : tan (x)

\frac{- 2 tan ( x )}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 tan ( x )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= tan (x)

Vereinfache

\frac{- 1}{- 2} : \frac{2}{2}

\frac{- 1}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{2}

Rationalisiere

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

tan (x) = \frac{2}{2}

tan (x) = \frac{2}{2}

tan (x) = \frac{2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{2}{2}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{2}{2}) + πn

x = arctan (\frac{2}{2}) + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = arctan (\frac{2}{2})

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.61547 \dots

Kombiniere alle Lösungen

0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π

Die Intervalle zwischen den Nullstellen

0 < x < 0.61547 \dots, 0.61547 \dots < x < - 0.61547 \dots + π, - 0.61547 \dots + π < x < π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) + 2 sin (x) cos (x) - 2 sin (x) (cos (x) + 2 sin (x)) (cos (x) - 2 sin (x)) x = 0 + + + 0 < x < 0.61547 \dots + + + x = 0.61547 \dots + 00 0.61547 \dots < x < - 0.61547 \dots + π + - - x = - 0.61547 \dots + π 0 - 0 - 0.61547 \dots + π < x < π - - + x = π - - +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

x = 0 or 0 < x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x < π or x = π

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

0 \leq x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x < π or x = π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0

oder

0 < x < 0.61547 \dots

0 \leq x < 0.61547 \dots

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq x < 0.61547 \dots

oder

- 0.61547 \dots + π < x < π

0 \leq x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x < π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x < π

oder

x = π

0 \leq x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x \leq π

0 \leq x < 0.61547 \dots or - 0.61547 \dots + π < x \leq π

Verwende die Periodizität von

cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

πn \leq x < 0.61547 \dots + πn or - 0.61547 \dots + π + πn < x \leq π + πn

Beliebte Beispiele

cos(x/2)+1/2 >0

cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} > 0

cos^2(θ)>= 1/2

cos^{2} (θ) \geq \frac{1}{2}

sin(x)cos(x)<= 1

sin (x) cos (x) \leq 1

cos(θ)>0,cot(θ)<0

cos (θ) > 0, cot (θ) < 0

(cot(x))^2<1,0<= x<= 2pi

(cot (x))^{2} < 1, 0 \leq x \leq 2 π