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Popolare Trigonometria >

2tan(2x)<= 3tan(x)

Soluzione

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Soluzione

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Decimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

Fasi della soluzione

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Spostare

3 tan (x)

a sinistra dell'equazione

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Sottrarre

3 tan (x)

da entrambi i lati

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 3 tan (x) - 3 tan (x)

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Periodicità di

2 tan (2 x) - 3 tan (x) : π

La periodicità composta della somma di funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi

2 tan (2 x), 3 tan (x)

Periodicità di

2 tan (2 x) : \frac{π}{2}

Periodicità di

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicit a ˋ di tan ( x )}{∣ b ∣}

Periodicità di

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 2 ∣}

Semplificare

= \frac{π}{2}

Periodicità di

3 tan (x) : π

Periodicità di

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicit a ˋ di tan ( x )}{∣ b ∣}

Periodicità di

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Semplificare

= π

Combine periodi:

\frac{π}{2}, π

= π

Esprimere con sen e cos

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 tan (x) \leq 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Semplificare

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (2 x), cos (x) : cos (2 x) cos (x)

cos (2 x), cos (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (2 x)

cos (x)

= cos (2 x) cos (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (2 x) cos (x)

Per

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} = \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Per

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (2 x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} - \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x ) - sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} \leq 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

per

0 \leq x < π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 cos (x) sin (2 x) - 3 cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 4 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos (x) sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 4 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 4 sin (x) cos^{2} (x)

= 4 cos^{2} (x) sin (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Fattorizza

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x)

= sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (x) = 0 or - 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = 0

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π :

Nessuna soluzione

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Semplificare

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Espandi

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) - (- 3) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Semplifica

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1 : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= - 6 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Semplifica

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) + 3

Aggiungi elementi simili:

- 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} = 0

3 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

3 - 2 u^{2} = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

3 - 2 u^{2} = 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

3 - 2 u^{2} - 3 = 0 - 3

Semplificare

- 2 u^{2} = - 3

- 2 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 2

- 2 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Semplificare

u^{2} = \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{3}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Nessuna soluzione

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = 0

Trova i punti non definiti:

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

Trova le radici del denominatore

cos (2 x) cos (x) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (2 x) = 0 or cos (x) = 0

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

cos (2 x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Risolvi

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Risolvi

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Riassumere in una tabella:

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) cos (2 x) cos (x) \frac{2 s i n ( 2 x ) c o s ( x ) - 3 s i n ( x ) c o s ( 2 x )}{c o s ( 2 x ) c o s ( x )} x = 0 0 + + 0 0 < x < \frac{π}{4} + + + + x = \frac{π}{4} + 0 + “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + - + - x = \frac{π}{2} + - 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - + x = \frac{3 π}{4} + 0 - “ N o n d e f ini t o “ \frac{3 π}{4} < x < π + + - - x = π 0 + - 0

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Unire gli intervalli sovrapposti

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

x = 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} < x < π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

x = π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

Applicare la periodicità di

2 tan (2 x) - 3 tan (x)

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Esempi popolari

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0