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Popular Trigonometría >

cosh(θ)= 8/3 \land θ<0,sinh(θ)

Solución

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0, sinh (θ)

Solución

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Decimal

θ = - 1.63680 \dots

Pasos de solución

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 2 \cdot 8

Simplificar

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

Re escribir la ecuación con

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 3 = 16

Resolver

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16 : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 16

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 : 3 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Aplica la ley conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u}) = 16

Desarrollar

3 (u + \frac{1}{u}) : 3 u + \frac{3}{u}

3 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 u + 3 \cdot \frac{1}{u}

3 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3}{u}

3 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{u}

= 3 u + \frac{3}{u}

3 u + \frac{3}{u} = 16

Multiplicar ambos lados por

u

3 u + \frac{3}{u} = 16

Multiplicar ambos lados por

u

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Simplificar

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Simplificar

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplificar

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 3

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

Resolver

3 u^{2} + 3 = 16 u : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

3 u^{2} + 3 = 16 u

Desplace

16 u

a la izquierda

3 u^{2} + 3 = 16 u

Restar

16 u

de ambos lados

3 u^{2} + 3 - 16 u = 16 u - 16 u

Simplificar

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = - 16, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 255

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 6^{2} - 36

1 6^{2} = 256

= 256 - 36

Restar:

256 - 36 = 220

= 220

Descomposición en factores primos de

220 : 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

220

220

divida por

2220 = 110 \cdot 2

= 2 \cdot 110

110

divida por

2110 = 55 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 55

55

divida por

555 = 11 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

2, 5, 11

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 5 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 5 \cdot 11

Simplificar

= 255

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 2 55}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 + 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{16 + 2 55}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 + 2 55}{6}

Factorizar

16 + 255 : 2 (8 + 55)

16 + 255

Reescribir como

= 2 \cdot 8 + 255

Factorizar el termino común

2

= 2 (8 + 55)

= \frac{2 ( 8 + 55 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{8 + 55}{3}

u = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 - 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{16 - 2 55}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 - 2 55}{6}

Factorizar

16 - 255 : 2 (8 - 55)

16 - 255

Reescribir como

= 2 \cdot 8 - 255

Factorizar el termino común

2

= 2 (8 - 55)

= \frac{2 ( 8 - 55 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{8 - 55}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 3

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{θ},

resolver para

θ

Resolver

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 + 55}{3})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

Resolver

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3} : θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 - 55}{3})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Combinar los rangos

(θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})) and θ < 0

Mezclar intervalos sobrepuestos

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3}) and θ < 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

θ < 0

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Gráfica

Ejemplos populares

cos(θ)=(sqrt(3))/2 \land csc(θ)<0