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Beliebt Trigonometrie >

cos(arcsin(5/13)+arctan(7/24))

Lösung

cos (arcsin (\frac{5}{13}) + arctan (\frac{7}{24}))

Lösung

\frac{253}{325}

Dezimale

0.77846 \dots

Schritte zur Lösung

cos (arcsin (\frac{5}{13}) + arctan (\frac{7}{24}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arcsin (\frac{5}{13})) cos (arctan (\frac{7}{24})) - sin (arcsin (\frac{5}{13})) sin (arctan (\frac{7}{24}))

cos (arcsin (\frac{5}{13}) + arctan (\frac{7}{24}))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (arcsin (\frac{5}{13})) cos (arctan (\frac{7}{24})) - sin (arcsin (\frac{5}{13})) sin (arctan (\frac{7}{24}))

= cos (arcsin (\frac{5}{13})) cos (arctan (\frac{7}{24})) - sin (arcsin (\frac{5}{13})) sin (arctan (\frac{7}{24}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{12}{13}

cos (arcsin (\frac{5}{13}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arcsin (\frac{5}{13})) = 1 - (\frac{5}{13})^{2}

Verwende die folgende Identität:

cos (arcsin (x)) = 1 - x^{2}

= 1 - (\frac{5}{13})^{2}

= 1 - (\frac{5}{13})^{2}

Vereinfache

= \frac{12}{13}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arctan (\frac{7}{24})) = \frac{24}{25}

cos (arctan (\frac{7}{24}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (arctan (\frac{7}{24})) = \frac{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

Verwende die folgende Identität:

cos (arctan (x)) = \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{2}}

= \frac{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

= \frac{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

Vereinfache

= \frac{24}{25}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{5}{13}

Verwende die folgende Identität:

sin (arcsin (x)) = x

= \frac{5}{13}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (arctan (\frac{7}{24})) = \frac{7}{25}

sin (arctan (\frac{7}{24}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (arctan (\frac{7}{24})) = \frac{( \frac{7}{24} ) 1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

Verwende die folgende Identität:

sin (arctan (x)) = \frac{x 1 + x ^{2}}{1 + x ^{2}}

= \frac{( \frac{7}{24} ) 1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

= \frac{\frac{7}{24} 1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}{1 + ( \frac{7}{24} ) ^{2}}

Vereinfache

= \frac{7}{25}

= \frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} - \frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25}

Vereinfache

\frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} - \frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25} : \frac{253}{325}

\frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} - \frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25}

\frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} = \frac{288}{325}

\frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{12 \cdot 24}{13 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 24 = 288

= \frac{288}{13 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

13 \cdot 25 = 325

= \frac{288}{325}

\frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{65}

\frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25}

kürze gemeinsame Faktoren über Kreuz:

5

5, 25

größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Primfaktorzerlegung von

5 : 5

5

5

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 5

Primfaktorzerlegung von

25 : 5 \cdot 5

25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 5

Die gemeinsamen Primfaktoren von

5, 25

sind:

= 5

= \frac{1}{13} \cdot \frac{7}{5}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 7}{13 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{13 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

13 \cdot 5 = 65

= \frac{7}{65}

= \frac{288}{325} - \frac{7}{65}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

325, 65 : 325

325, 65

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

325 : 5 \cdot 5 \cdot 13

325

325

ist durch

5325 = 65 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 65

65

ist durch

565 = 13 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 5 \cdot 13

5, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 5 \cdot 5 \cdot 13

Primfaktorzerlegung von

65 : 5 \cdot 13

65

65

ist durch

565 = 13 \cdot 5

teilbar

= 5 \cdot 13

5, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 5 \cdot 13

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

325

oder

65

vorkommt

= 5 \cdot 5 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 5 \cdot 13 = 325

= 325

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

325

Für

\frac{7}{65} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{7}{65} = \frac{7 \cdot 5}{65 \cdot 5} = \frac{35}{325}

= \frac{288}{325} - \frac{35}{325}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{288 - 35}{325}

Subtrahiere die Zahlen:

288 - 35 = 253

= \frac{253}{325}

= \frac{253}{325}

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