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受欢迎的三角函数 >

sin((7pi)/8)-sin((7pi)/6)-cot(pi/3)

解答

sin (\frac{7 π}{8}) - sin (\frac{7 π}{6}) - cot (\frac{π}{3})

解答

\frac{1}{2} + \frac{3 - 2 + 2 - 2 3}{6}

+1

十进制

0.30533 \dots

求解步骤

sin (\frac{7 π}{8}) - sin (\frac{7 π}{6}) - cot (\frac{π}{3})

使用三角恒等式改写:

sin (\frac{7 π}{8}) = \frac{2 - 2}{2}

sin (\frac{7 π}{8})

使用三角恒等式改写:

sin (\frac{π}{8})

sin (\frac{7 π}{8})

使用基本三角恒等式:

sin (x) = sin (π - x)

= sin (π - \frac{7 π}{8})

化简:

π - \frac{7 π}{8} = \frac{π}{8}

π - \frac{7 π}{8}

将项转换为分式:

π = \frac{π 8}{8}

= \frac{π 8}{8} - \frac{7 π}{8}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 8 - 7 π}{8}

同类项相加:

8 π - 7 π = π

= \frac{π}{8}

= sin (\frac{π}{8})

= sin (\frac{π}{8})

使用三角恒等式改写:

\frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

sin (\frac{π}{8})

将

sin (\frac{π}{8})

写为

sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

= sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

使用半角公式:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

使用倍角公式

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

用

\frac{θ}{2}

替代

θ

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

交换两边

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

两边除以

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

:

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

化简

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

化简

1 - \frac{2}{2} : \frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

将项转换为分式:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

数字相乘:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2}{4}

= \frac{2 - 2}{4}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 2}{4}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{2 - 2}{2}

使用三角恒等式改写:

sin (\frac{7 π}{6}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{7 π}{6})

使用三角恒等式改写:

sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

sin (\frac{7 π}{6})

将

sin (\frac{7 π}{6})

写为

sin (π + \frac{π}{6})

= sin (π + \frac{π}{6})

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

= sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

使用以下普通恒等式:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

使用以下普通恒等式:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= 0 \cdot \frac{3}{2} + (- 1) \frac{1}{2}

化简

= - \frac{1}{2}

使用以下普通恒等式:

cot (\frac{π}{3}) = \frac{3}{3}

cot (\frac{π}{3})

cot (x)

周期表（周期为

πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

= \frac{3}{3}

= \frac{2 - 2}{2} - (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{3}

化简

\frac{2 - 2}{2} - (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{3} : \frac{1}{2} + \frac{3 - 2 + 2 - 2 3}{6}

\frac{2 - 2}{2} - (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{3}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{3}

合并分式

\frac{2 - 2}{2} - \frac{3}{3} : \frac{3 2 - 2 - 2}{2 3}

\frac{2 - 2}{2} - \frac{3}{3}

2, 3

的最小公倍数:

6

2, 3

最小公倍数 (LCM)

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

将每个因子乘以它在

2

或

3

中出现的最多次数

= 2 \cdot 3

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 6

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

6

对于

\frac{2 - 2}{2} :

将分母和分子乘以

3

\frac{2 - 2}{2} = \frac{2 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 2 \cdot 3}{6}

对于

\frac{3}{3} :

将分母和分子乘以

2

\frac{3}{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 2}{6}

= \frac{2 - 2 \cdot 3}{6} - \frac{3 \cdot 2}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 - 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2}{6}

分解

2 - 2 3 - 32 : 3 (3 - 2 + 2 - 2)

2 - 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2

3 = 33

= 2 - 2 33 - 3 \cdot 2

因式分解出通项

3

= 3 (2 - 2 3 - 2)

乘开

3 2 - 2 - 2 : 3 - 2 + 2 - 2

2 - 2 3 - 2

2 - 2 3 = 3 - 2 + 2

2 - 2 3

使用根式运算法则:

a b = a \cdot b

3 2 - 2 = 3 (2 - 2)

= 3 (2 - 2)

分解

2 - 2 : - (2 - 2)

2 - 2

因式分解出通项

- 1

= - (2 - 2)

= - 3 (2 - 2)

使用根式运算法则:

n ab = n a n b,

假定

a \geq 0, b \geq 0

= 3 - (2 - 2)

乘开

- (2 - 2) : - 2 + 2

- (2 - 2)

打开括号

= - (2) - (- 2)

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 2

= 3 2 - 2

= 3 2 - 2 - 2

= 3 (3 2 - 2 - 2)

= \frac{3 ( 3 - 2 + 2 - 2 )}{6}

分解

6 : 2 \cdot 3

因式分解

6 = 2 \cdot 3

= \frac{3 ( 3 2 - 2 - 2 )}{2 \cdot 3}

消掉

\frac{3 ( 3 - 2 + 2 - 2 )}{2 \cdot 3} : \frac{3 - 2 + 2 - 2}{2 3}

\frac{3 ( 3 - 2 + 2 - 2 )}{2 \cdot 3}

使用根式运算法则:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}} ( 3 2 - 2 - 2 )}{2 \cdot 3}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{3 2 - 2 - 2}{2 \cdot 3 ^{- \frac{1}{2} + 1}}

数字相减:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 2 - 2 - 2}{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}

使用根式运算法则:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3 2 - 2 - 2}{2 3}

= \frac{3 - 2 + 2 - 2}{2 3}

= \frac{3 2 - 2 - 2}{2 3}

= \frac{1}{2} + \frac{3 2 - 2 - 2}{2 3}

\frac{3 - 2 + 2 - 2}{2 3} = \frac{3 - 2 + 2 - 2 3}{6}

\frac{3 - 2 + 2 - 2}{2 3}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= \frac{( 3 - 2 + 2 - 2 ) 3}{2 3 3}

(3 - 2 + 2 - 2) 3 = 3 - 2 + 2 - 23

(3 - 2 + 2 - 2) 3

= 3 (3 - 2 + 2 - 2)

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 3 - 2 + 2, c = 2

= 33 - 2 + 2 - 3 \cdot 2

= 33 - 2 + 2 - 23

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3 - 2 + 2 - 23

233 = 6

233

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 2 \cdot 3

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= \frac{3 - 2 + 2 - 2 3}{6}

= \frac{1}{2} + \frac{3 2 - 2 - 2 3}{6}

= \frac{1}{2} + \frac{3 - 2 + 2 - 2 3}{6}

流行的例子

2sin(60)sec(30)cos(45)tan(45)

2 sin (6 0^{\circ}) sec (3 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) tan (4 5^{\circ})

cos(30)+tan(45)

cos (3 0^{\circ}) + tan (4 5^{\circ})

arctan((2.5)/(1.8))

arctan (\frac{2.5}{1.8})

7 sin (4 0^{\circ})

5 tan (3 0^{\circ})