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ln(tanh(3-4i))

Solución

ln (tanh (3 - 4 i))

Solución

ln (\frac{- cos ^{2} ( 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( 4 ) - 4 e ^{6} i cos ( 4 ) sin ( 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( 4 ) + 2 e ^{6} cos ^{2} ( 4 ) - 2 e ^{6} sin ^{2} ( 4 )})

Pasos de solución

ln (tanh (3 - 4 i))

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

tanh (3 - 4 i) = \frac{- cos ^{2} ( 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( 4 ) + 2 e ^{6} cos ^{2} ( 4 ) - 2 e ^{6} sin ^{2} ( 4 )} - i \frac{4 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( 4 ) + 2 e ^{6} cos ^{2} ( 4 ) - 2 e ^{6} sin ^{2} ( 4 )}

tanh (3 - 4 i)

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

= \frac{e ^{3 - 4 i} - e ^{- (3 - 4 i)}}{e ^{3 - 4 i} + e ^{- (3 - 4 i)}}

Simplificar

\frac{e ^{3 - 4 i} - e ^{- (3 - 4 i)}}{e ^{3 - 4 i} + e ^{- (3 - 4 i)}} : \frac{- cos ^{2} ( 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 )} + i \frac{- 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 )}

\frac{e ^{3 - 4 i} - e ^{- (3 - 4 i)}}{e ^{3 - 4 i} + e ^{- (3 - 4 i)}}

e^{3 - 4 i} - e^{- (3 - 4 i)} = e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) - e^{- 3} (cos (4) + i sin (4))

e^{3 - 4 i} - e^{- (3 - 4 i)}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) - e^{- (3 - 4 i)}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) - e^{- 3} (cos (4) + i sin (4))

= \frac{e ^{3} ( cos ( - 4 ) + i sin ( - 4 ) ) - e ^{- 3} ( cos ( 4 ) + i sin ( 4 ) )}{e ^{3 - 4 i} + e ^{- (3 - 4 i)}}

e^{3 - 4 i} + e^{- (3 - 4 i)} = e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) + e^{- 3} (cos (4) + i sin (4))

e^{3 - 4 i} + e^{- (3 - 4 i)}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) + e^{- (3 - 4 i)}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{3} (cos (- 4) + i sin (- 4)) + e^{- 3} (cos (4) + i sin (4))

= \frac{e ^{3} ( cos ( - 4 ) + i sin ( - 4 ) ) - e ^{- 3} ( cos ( 4 ) + i sin ( 4 ) )}{e ^{3} ( cos ( - 4 ) + i sin ( - 4 ) ) + e ^{- 3} ( cos ( 4 ) + i sin ( 4 ) )}

Aplicar la regla de aritmética compleja:

\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( c - d i ) ( a + bi )}{( c - d i ) ( c + d i )} = \frac{( a c + b d ) + ( b c - a d ) i}{c ^{2} + d ^{2}}

a = \frac{e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 )}{e ^{3}}, b = \frac{e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 )}{e ^{3}}, c = \frac{e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 )}{e ^{3}}, d = \frac{e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 )}{e ^{3}}

= \frac{( \frac{e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 )}{e ^{3}} \cdot \frac{e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 )}{e ^{3}} + \frac{e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 )}{e ^{3}} \cdot \frac{e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 )}{e ^{3}} ) + ( \frac{e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 )}{e ^{3}} \cdot \frac{e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 )}{e ^{3}} - \frac{e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 )}{e ^{3}} \cdot \frac{e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 )}{e ^{3}} ) i}{( \frac{e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 )}{e ^{3}} ) ^{2} + ( \frac{e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 )}{e ^{3}} ) ^{2}}

Simplificar

= \frac{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} + \frac{2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 )}{e ^{6}} i}{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) ) ^{2}}{e ^{6}}}

Simplificar

\frac{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} + \frac{2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 )}{e ^{6}} i}{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) ) ^{2}}{e ^{6}}} : \frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

\frac{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} + \frac{2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 )}{e ^{6}} i}{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) ) ^{2}}{e ^{6}}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} + \frac{2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 )}{e ^{6}} i ) e ^{6}}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Multiplicar

\frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{6}} i : \frac{i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{e ^{6}}

\frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{6}} i

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) ) i}{e ^{6}}

= \frac{e ^{6} ( \frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} + \frac{i ( 2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 ) )}{e ^{6}} )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{e ^{6}}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{e ^{6}}

= \frac{e ^{6} ( \frac{i ( 2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 ) ) + ( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) )}{e ^{6}} )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{\frac{( e ^{6} c o s ( - 4 ) - c o s ( 4 ) ) ( e ^{6} c o s ( - 4 ) + c o s ( 4 ) ) + ( e ^{6} s i n ( - 4 ) - s i n ( 4 ) ) ( e ^{6} s i n ( - 4 ) + s i n ( 4 ) ) + ( 2 e ^{6} c o s ( 4 ) s i n ( - 4 ) - 2 e ^{6} s i n ( 4 ) c o s ( - 4 ) ) i}{e ^{6}} e ^{6}}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Multiplicar

\frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) ) i}{e ^{6}} e^{6} : (e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4)) + (e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) + i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4))

\frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) ) i}{e ^{6}} e^{6}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( ( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) ) i ) e ^{6}}{e ^{6}}

Eliminar los terminos comunes:

e^{6}

= (e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4)) + (e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) + (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4)) i

= \frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

= \frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Reescribir

\frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

en la forma binómica:

\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} i

\frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) ^{2} + ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) ^{2}}

Expandir

(e^{6} cos (- 4) + cos (4))^{2} + (e^{6} sin (- 4) + sin (4))^{2} : e^{12} cos^{2} (- 4) + 2 e^{6} cos (4) cos (- 4) + cos^{2} (4) + e^{12} sin^{2} (- 4) + 2 e^{6} sin (4) sin (- 4) + sin^{2} (4)

(e^{6} cos (- 4) + cos (4))^{2} + (e^{6} sin (- 4) + sin (4))^{2}

(e^{6} cos (- 4) + cos (4))^{2} : e^{12} cos^{2} (- 4) + 2 e^{6} cos (4) cos (- 4) + cos^{2} (4)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = e^{6} cos (- 4), b = cos (4)

= (e^{6} cos (- 4))^{2} + 2 e^{6} cos (- 4) cos (4) + cos^{2} (4)

(e^{6} cos (- 4))^{2} = e^{12} cos^{2} (- 4)

(e^{6} cos (- 4))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= cos^{2} (- 4) (e^{6})^{2}

(e^{6})^{2} : e^{12}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= e^{12}

= e^{12} cos^{2} (- 4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) + 2 e^{6} cos (4) cos (- 4) + cos^{2} (4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) + 2 e^{6} cos (4) cos (- 4) + cos^{2} (4) + (e^{6} sin (- 4) + sin (4))^{2}

(e^{6} sin (- 4) + sin (4))^{2} : e^{12} sin^{2} (- 4) + 2 e^{6} sin (4) sin (- 4) + sin^{2} (4)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = e^{6} sin (- 4), b = sin (4)

= (e^{6} sin (- 4))^{2} + 2 e^{6} sin (- 4) sin (4) + sin^{2} (4)

(e^{6} sin (- 4))^{2} = e^{12} sin^{2} (- 4)

(e^{6} sin (- 4))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= sin^{2} (- 4) (e^{6})^{2}

(e^{6})^{2} : e^{12}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= e^{12}

= e^{12} sin^{2} (- 4)

= e^{12} sin^{2} (- 4) + 2 e^{6} sin (4) sin (- 4) + sin^{2} (4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) + 2 e^{6} cos (4) cos (- 4) + cos^{2} (4) + e^{12} sin^{2} (- 4) + 2 e^{6} sin (4) sin (- 4) + sin^{2} (4)

= \frac{( e ^{6} cos ( - 4 ) - cos ( 4 ) ) ( e ^{6} cos ( - 4 ) + cos ( 4 ) ) + ( e ^{6} sin ( - 4 ) - sin ( 4 ) ) ( e ^{6} sin ( - 4 ) + sin ( 4 ) ) + i ( 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

Expandir

(e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4)) + (e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) + i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4)) : e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4) + e^{12} sin^{2} (- 4) - sin^{2} (4) + 2 e^{6} i cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} i sin (4) cos (- 4)

(e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4)) + (e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) + i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4))

Expandir

(e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4)) : e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4)

(e^{6} cos (- 4) - cos (4)) (e^{6} cos (- 4) + cos (4))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = e^{6} cos (- 4), b = cos (4)

= (e^{6} cos (- 4))^{2} - cos^{2} (4)

(e^{6} cos (- 4))^{2} = e^{12} cos^{2} (- 4)

(e^{6} cos (- 4))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= cos^{2} (- 4) (e^{6})^{2}

(e^{6})^{2} : e^{12}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= e^{12}

= e^{12} cos^{2} (- 4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4) + (e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) + i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4))

Expandir

(e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4)) : e^{12} sin^{2} (- 4) - sin^{2} (4)

(e^{6} sin (- 4) - sin (4)) (e^{6} sin (- 4) + sin (4))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = e^{6} sin (- 4), b = sin (4)

= (e^{6} sin (- 4))^{2} - sin^{2} (4)

(e^{6} sin (- 4))^{2} = e^{12} sin^{2} (- 4)

(e^{6} sin (- 4))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= sin^{2} (- 4) (e^{6})^{2}

(e^{6})^{2} : e^{12}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= e^{12}

= e^{12} sin^{2} (- 4)

= e^{12} sin^{2} (- 4) - sin^{2} (4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4) + e^{12} sin^{2} (- 4) - sin^{2} (4) + i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4))

Expandir

i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4)) : 2 e^{6} i cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} i sin (4) cos (- 4)

i (2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} sin (4) cos (- 4))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = 2 e^{6} cos (4) sin (- 4), c = 2 e^{6} sin (4) cos (- 4)

= i 2 e^{6} cos (4) sin (- 4) - i 2 e^{6} sin (4) cos (- 4)

= 2 e^{6} i cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} i sin (4) cos (- 4)

= e^{12} cos^{2} (- 4) - cos^{2} (4) + e^{12} sin^{2} (- 4) - sin^{2} (4) + 2 e^{6} i cos (4) sin (- 4) - 2 e^{6} i sin (4) cos (- 4)

= \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + 2 e ^{6} i cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} i sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + 2 e ^{6} i cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} i sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} = \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{2 e ^{6} i cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{2 e ^{6} i sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

= \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{2 e ^{6} i cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{2 e ^{6} i sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}) + (\frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}) i

\frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} = \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

\frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

= (\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}) + \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} i

\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} = \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

\frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{cos ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} - \frac{sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )}

= \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} i

= \frac{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) - cos ^{2} ( 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) - sin ^{2} ( 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} + \frac{2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 ) - 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 )}{e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 ) + cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 )} i

= \frac{- cos ^{2} ( 4 ) - sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 )} + i \frac{- 2 e ^{6} sin ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) sin ( - 4 )}{cos ^{2} ( 4 ) + sin ^{2} ( 4 ) + e ^{12} cos ^{2} ( - 4 ) + e ^{12} sin ^{2} ( - 4 ) + 2 e ^{6} cos ( 4 ) cos ( - 4 ) + 2 e ^{6} sin ( 4 ) sin ( - 4 )}