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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-sqrt(1-3cos^2(x))=0

Lösung

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u - 1 - 3 u^{2} = 0

u - 1 - 3 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Quadratwurzeln entfernen

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Subtrahiere

u

von beiden Seiten

u - 1 - 3 u^{2} - u = 0 - u

Vereinfache

- 1 - 3 u^{2} = - u

Quadriere beide Seiten:

1 - 3 u^{2} = u^{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (- u)^{2}

Schreibe

(- 1 - 3 u^{2})^{2}

um:

1 - 3 u^{2}

(- 1 - 3 u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (1 - 3 u^{2})^{2}

= (1 - 3 u^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - 3 u^{2}

Schreibe

(- u)^{2}

um:

u^{2}

(- u)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Löse

1 - 3 u^{2} = u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 3 u^{2} - 1 = u^{2} - 1

Vereinfache

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Verschiebe

u^{2}

auf die linke Seite

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Subtrahiere

u^{2}

von beiden Seiten

- 3 u^{2} - u^{2} = u^{2} - 1 - u^{2}

Vereinfache

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Vereinfache

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen:

u = \frac{1}{2}

Wahr

, u = - \frac{1}{2}

Falsch

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u - 1 - 3 u^{2} = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = \frac{1}{2} :

Wahr

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{1}{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(\frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Füge

1 - \frac{3}{4}

zusammen:

\frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Setze ein

u = - \frac{1}{2} :

Falsch

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = 0

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = - 1

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - \frac{1}{2} - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(- \frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Füge

1 - \frac{3}{4}

zusammen:

\frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - 1}{2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

- 1 = 0

Falsch

Deshalb ist die Lösung

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

arctan(2x-3)= pi/4

cos(x)=-0,5

tan(2x)+2cos(x)=0,0<= x<= 2pi

sin(x)+cos(x)*cot(x)=2

tan(θ)= 6/12