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Popular Trigonometría >

cos(x)-sqrt(1-3cos^2(x))=0

Solución

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

u - 1 - 3 u^{2} = 0

u - 1 - 3 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Eliminar raíces cuadradas

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Restar

u

de ambos lados

u - 1 - 3 u^{2} - u = 0 - u

Simplificar

- 1 - 3 u^{2} = - u

Elevar al cuadrado ambos lados:

1 - 3 u^{2} = u^{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (- u)^{2}

Desarrollar

(- 1 - 3 u^{2})^{2} : 1 - 3 u^{2}

(- 1 - 3 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (1 - 3 u^{2})^{2}

= (1 - 3 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 1 - 3 u^{2}

Desarrollar

(- u)^{2} : u^{2}

(- u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Resolver

1 - 3 u^{2} = u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Desplace

1

a la derecha

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Restar

1

de ambos lados

1 - 3 u^{2} - 1 = u^{2} - 1

Simplificar

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Desplace

u^{2}

a la izquierda

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Restar

u^{2}

de ambos lados

- 3 u^{2} - u^{2} = u^{2} - 1 - u^{2}

Simplificar

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 4

- 4 u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Simplificar

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones:

u = \frac{1}{2}

Verdadero

, u = - \frac{1}{2}

Falso

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = \frac{1}{2} :

Verdadero

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{1}{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Simplificar

1 - \frac{3}{4}

en una fracción:

\frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Restar:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= 0

0 = 0

Verdadero

Sustituir

u = - \frac{1}{2} :

Falso

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = 0

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = - 1

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - \frac{1}{2} - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(- \frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Simplificar

1 - \frac{3}{4}

en una fracción:

\frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Restar:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - 1}{2}

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

- 1 = 0

Falso

La solución es

u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

arctan(2x-3)= pi/4

cos(x)=-0,5

tan(2x)+2cos(x)=0,0<= x<= 2pi

sin(x)+cos(x)*cot(x)=2

tan(θ)= 6/12