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Beliebt Trigonometrie >

6sec^2(x)-3cos(x)-10=sec(x)

Lösung

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Lösung

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 - sec (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 10 - sec (x) - 3 cos (x) + 6 sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - 3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{3}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sec ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - \frac{3}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- \frac{3}{u} u : - 3

- \frac{3}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 3

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

6 u^{2} u : 6 u^{3}

6 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 6 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 6 u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Löse

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 = 0

Faktorisiere

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 : (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 3, a_{n} = 6

Die Teiler von

a_{0} : 1, 3,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 3 , 6}

- \frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u + 1

= (u + 1) \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} - 7 u - 3

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividiere

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

und des Teilers

u + 1 : \frac{6 u ^{3}}{u} = 6 u^{2}

Quotient = 6 u^{2}

Multipliziere

u + 1

mit

6 u^{2} : 6 u^{3} + 6 u^{2}

Substrahiere

6 u^{3} + 6 u^{2}

von

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 7 u^{2} - 10 u - 3

Deshalb

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividiere

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 7 u^{2} - 10 u - 3

und des Teilers

u + 1 : \frac{- 7 u ^{2}}{u} = - 7 u

Quotient = - 7 u

Multipliziere

u + 1

mit

- 7 u : - 7 u^{2} - 7 u

Substrahiere

- 7 u^{2} - 7 u

von

- 7 u^{2} - 10 u - 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 3 u - 3

Deshalb

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividiere

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} : \frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 3 u - 3

und des Teilers

u + 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quotient = - 3

Multipliziere

u + 1

mit

- 3 : - 3 u - 3

Substrahiere

- 3 u - 3

von

- 3 u - 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

Faktorisiere

6 u^{2} - 7 u - 3 : (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{2} - 7 u - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

6 u^{2} - 7 u - 3

Definition

Faktoren von

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

18

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

18 : 2, 3, 3

18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Primfaktoren von

18 : 6, 9

2 \cdot 3 = 6

3 \cdot 3 = 9

6, 9

6, 9

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

18

selbst

1, 18

Die Faktoren von

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

Negative Faktoren von

18 : - 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 18,

prüfe, ob

u + v = - 7

Prüfe

u = 1, v = - 18 : u * v = - 18, u + v = - 17 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 9 : u * v = - 18, u + v = - 7 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 9

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

= (6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

Klammere

2 u

aus

6 u^{2} + 2 u

aus

: 2 u (3 u + 1)

6 u^{2} + 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu + 2 u

Schreibe

6

um:

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu + 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (3 u + 1)

Klammere

- 3

aus

- 9 u - 3

aus

: - 3 (3 u + 1)

- 9 u - 3

Schreibe

9

um:

3 \cdot 3

= - 3 \cdot 3 u - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (3 u + 1)

= 2 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

3 u + 1

= (3 u + 1) (2 u - 3)

= (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

(u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 3 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 u = - 1

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

Löse

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{3} :

Keine Lösung

sec (x) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (x) = \frac{3}{2} : x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = \frac{3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)-sec(x)=sqrt(3)

sin^2(x)+cos(2x)=1

4tan(3x)=-4

cos(pi/3-x)=1

2(cos(t))^2-cos(t)-1=0