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Beliebt Trigonometrie >

sinh(x)= 5/4

Lösung

sinh (x) = \frac{5}{4}

Lösung

x = ln (\frac{5 + 41}{4})

Grad

x = 60.02265 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (x) = \frac{5}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (x) = \frac{5}{4}

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = \frac{5}{4}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = \frac{5}{4}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = \frac{5}{4} : x = ln (\frac{5 + 41}{4})

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = \frac{5}{4}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 4 = 2 \cdot 5

Vereinfache

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 4 = 10

Wende Exponentenregel an

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 4 = 10

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 4 = 10

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 4 = 10

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

(u - (u)^{- 1}) \cdot 4 = 10

Löse

(u - u^{- 1}) \cdot 4 = 10 : u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

(u - u^{- 1}) \cdot 4 = 10

Fasse zusammen

(u - \frac{1}{u}) \cdot 4 = 10

Vereinfache

(u - \frac{1}{u}) \cdot 4 : 4 (u - \frac{1}{u})

(u - \frac{1}{u}) \cdot 4

Apply the commutative law:

(u - \frac{1}{u}) \cdot 4 = 4 (u - \frac{1}{u})

4 (u - \frac{1}{u})

4 (u - \frac{1}{u}) = 10

Schreibe

4 (u - \frac{1}{u})

um:

4 u - \frac{4}{u}

4 (u - \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 u - 4 \cdot \frac{1}{u}

4 \cdot \frac{1}{u} = \frac{4}{u}

4 \cdot \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{u}

= 4 u - \frac{4}{u}

4 u - \frac{4}{u} = 10

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 u - \frac{4}{u} = 10

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 uu - \frac{4}{u} u = 10 u

Vereinfache

4 uu - \frac{4}{u} u = 10 u

Vereinfache

4 uu : 4 u^{2}

4 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

Vereinfache

- \frac{4}{u} u : - 4

- \frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 4

4 u^{2} - 4 = 10 u

4 u^{2} - 4 = 10 u

4 u^{2} - 4 = 10 u

Löse

4 u^{2} - 4 = 10 u : u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

4 u^{2} - 4 = 10 u

Verschiebe

10 u

auf die linke Seite

4 u^{2} - 4 = 10 u

Subtrahiere

10 u

von beiden Seiten

4 u^{2} - 4 - 10 u = 10 u - 10 u

Vereinfache

4 u^{2} - 4 - 10 u = 0

4 u^{2} - 4 - 10 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 10 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 10 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 10, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 241

(- 10)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 1 0^{2} + 64

1 0^{2} = 100

= 100 + 64

Addiere die Zahlen:

100 + 64 = 164

= 164

Primfaktorzerlegung von

164 : 2^{2} \cdot 41

164

164

ist durch

2164 = 82 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 82

82

ist durch

282 = 41 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 41

2, 41

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 41

= 2^{2} \cdot 41

= 2^{2} \cdot 41

Wende Radikal Regel an:

= 41 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 241

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 2 41}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 2 41}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 2 41}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 10 ) + 2 41}{2 \cdot 4} : \frac{5 + 41}{4}

\frac{- ( - 10 ) + 2 41}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 2 41}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{10 + 2 41}{8}

Faktorisiere

10 + 241 : 2 (5 + 41)

10 + 241

Schreibe um

= 2 \cdot 5 + 241

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 + 41)

= \frac{2 ( 5 + 41 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 + 41}{4}

u = \frac{- ( - 10 ) - 2 41}{2 \cdot 4} : \frac{5 - 41}{4}

\frac{- ( - 10 ) - 2 41}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 2 41}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{10 - 2 41}{8}

Faktorisiere

10 - 241 : 2 (5 - 41)

10 - 241

Schreibe um

= 2 \cdot 5 - 241

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 - 41)

= \frac{2 ( 5 - 41 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 - 41}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u - u^{- 1}) 4

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{5 + 41}{4} : x = ln (\frac{5 + 41}{4})

e^{x} = \frac{5 + 41}{4}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5 + 41}{4}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 41}{4})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 41}{4})

x = ln (\frac{5 + 41}{4})

Löse

e^{x} = \frac{5 - 41}{4} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = \frac{5 - 41}{4}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = ln (\frac{5 + 41}{4})

x = ln (\frac{5 + 41}{4})

Graph

Beliebte Beispiele