English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometría >

1+tanh^2(x)=sech^2(x)

Solución

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Solución

x = 0

Grados

x = 0^{\circ}

Pasos de solución

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = sech^{2} (x)

Utilizar la identidad hiperbólica:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} : x = 0

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

1 + (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2}

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

1 + (\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + ( u ) ^{- 1}})^{2}

Resolver

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2} : u = 1, u = - 1

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2}

Simplificar

1 + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Multiplicar ambos lados por

(u^{2} + 1)^{2}

1 + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Multiplicar ambos lados por

(u^{2} + 1)^{2}

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} : (u^{2} + 1)^{2}

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar:

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} = (u^{2} + 1)^{2}

= (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} : (u^{2} - 1)^{2}

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

(u^{2} + 1)^{2}

= (u^{2} - 1)^{2}

Simplificar

\frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} : 4 u^{2}

\frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u ^{2} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

(u^{2} + 1)^{2}

= 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

Resolver

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2} : u = 1, u = - 1

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

Desarrollar

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} : 2 u^{4} + 2

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2}

(u^{2} + 1)^{2} : u^{4} + 2 u^{2} + 1

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} + 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1 + (u^{2} - 1)^{2}

(u^{2} - 1)^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1

Simplificar

u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1 : 2 u^{4} + 2

u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1

Agrupar términos semejantes

= u^{4} + u^{4} + 2 u^{2} - 2 u^{2} + 1 + 1

Sumar elementos similares:

2 u^{2} - 2 u^{2} = 0

= u^{4} + u^{4} + 1 + 1

Sumar elementos similares:

u^{4} + u^{4} = 2 u^{4}

= 2 u^{4} + 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 u^{4} + 2

= 2 u^{4} + 2

2 u^{4} + 2 = 4 u^{2}

Desplace

4 u^{2}

a la izquierda

2 u^{4} + 2 = 4 u^{2}

Restar

4 u^{2}

de ambos lados

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Simplificar

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 0

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 4 u^{2} + 2 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Resolver

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0 : v = 1

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 4, c = 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Restar:

16 - 16 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La solución a la ecuación de segundo grado es:

v = 1

v = 1

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Las soluciones son

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2}

y comparar con cero

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Resolver

e^{x} = - 1 :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = 0

x = 0

Gráfica

Ejemplos populares