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Popular Trigonometria >

1+tanh^2(x)=sech^2(x)

Solução

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Solução

x = 0

Graus

x = 0^{\circ}

Passos da solução

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)

Use a identidade hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = sech^{2} (x)

Use a identidade hiperbólica:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} : x = 0

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes

1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

1 + (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2}

1 + (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{2}

Reescrever a equação com

e^{x} = u

1 + (\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + ( u ) ^{- 1}})^{2}

Resolver

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2} : u = 1, u = - 1

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2} = (\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2}

Simplificar

1 + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Multiplicar ambos os lados por

(u^{2} + 1)^{2}

1 + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Multiplicar ambos os lados por

(u^{2} + 1)^{2}

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} + \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} = \frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} : (u^{2} + 1)^{2}

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar:

1 \cdot (u^{2} + 1)^{2} = (u^{2} + 1)^{2}

= (u^{2} + 1)^{2}

Simplificar

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} : (u^{2} - 1)^{2}

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Eliminar o fator comum:

(u^{2} + 1)^{2}

= (u^{2} - 1)^{2}

Simplificar

\frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2} : 4 u^{2}

\frac{4 u ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} (u^{2} + 1)^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u ^{2} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

Eliminar o fator comum:

(u^{2} + 1)^{2}

= 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

Resolver

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2} : u = 1, u = - 1

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} = 4 u^{2}

Expandir

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2} : 2 u^{4} + 2

(u^{2} + 1)^{2} + (u^{2} - 1)^{2}

(u^{2} + 1)^{2} : u^{4} + 2 u^{2} + 1

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} + 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} + 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1 + (u^{2} - 1)^{2}

(u^{2} - 1)^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1

Simplificar

u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1 : 2 u^{4} + 2

u^{4} + 2 u^{2} + 1 + u^{4} - 2 u^{2} + 1

Agrupar termos semelhantes

= u^{4} + u^{4} + 2 u^{2} - 2 u^{2} + 1 + 1

Somar elementos similares:

2 u^{2} - 2 u^{2} = 0

= u^{4} + u^{4} + 1 + 1

Somar elementos similares:

u^{4} + u^{4} = 2 u^{4}

= 2 u^{4} + 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 u^{4} + 2

= 2 u^{4} + 2

2 u^{4} + 2 = 4 u^{2}

Mova

4 u^{2}

para o lado esquerdo

2 u^{4} + 2 = 4 u^{2}

Subtrair

4 u^{2}

de ambos os lados

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Simplificar

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 0

2 u^{4} + 2 - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 4 u^{2} + 2 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Resolver

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0 : v = 1

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 v^{2} - 4 v + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 4, c = 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

A solução para a equação de segundo grau é:

v = 1

v = 1

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

As soluções são

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 + (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{2}

e comparar com zero

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

(\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{2}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Substitua

u = e^{x},

solucione para

x

Resolver

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, então

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Resolver

e^{x} = - 1 :

Sem solução para

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

não pode ser zero ou negativa para

x \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

x = 0

x = 0

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)-sin(x)= 1/2

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

cos(x)=-4/9

cos (x) = - \frac{4}{9}

sin(x+20)=cos(x-50)

sin (x + 2 0^{\circ}) = cos (x - 5 0^{\circ})

A=2sin(30+x)-cos(x)

A = 2 sin (3 0^{\circ} + x) - cos (x)

sin(x)= 1/4 ,sin(2x)

sin (x) = \frac{1}{4}, sin (2 x)