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8tan(θ/2)+8cos(θ)tan(θ/2)=1

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Solution

8tan(2θ​)+8cos(θ)tan(2θ​)=1

Solution

θ=0.12532…+2πn,θ=π−0.12532…+2πn
+1
Degrés
θ=7.18075…∘+360∘n,θ=172.81924…∘+360∘n
étapes des solutions
8tan(2θ​)+8cos(θ)tan(2θ​)=1
Soustraire 1 des deux côtés8tan(2θ​)+8cos(θ)tan(2θ​)−1=0
Soit : u=2θ​8tan(u)+8cos(2u)tan(u)−1=0
Récrire en utilisant des identités trigonométriques
−1+8tan(u)+8cos(2u)tan(u)
Utiliser l'identité d'angle double: cos(2x)=2cos2(x)−1=−1+8tan(u)+8(2cos2(u)−1)tan(u)
Simplifier −1+8tan(u)+8(2cos2(u)−1)tan(u):16cos2(u)tan(u)−1
−1+8tan(u)+8(2cos2(u)−1)tan(u)
=−1+8tan(u)+8tan(u)(2cos2(u)−1)
Développer 8tan(u)(2cos2(u)−1):16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
8tan(u)(2cos2(u)−1)
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=8tan(u),b=2cos2(u),c=1=8tan(u)⋅2cos2(u)−8tan(u)⋅1
=8⋅2cos2(u)tan(u)−8⋅1⋅tan(u)
Simplifier 8⋅2cos2(u)tan(u)−8⋅1⋅tan(u):16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
8⋅2cos2(u)tan(u)−8⋅1⋅tan(u)
Multiplier les nombres : 8⋅2=16=16cos2(u)tan(u)−8⋅1⋅tan(u)
Multiplier les nombres : 8⋅1=8=16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
=16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
=−1+8tan(u)+16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
Simplifier −1+8tan(u)+16cos2(u)tan(u)−8tan(u):16cos2(u)tan(u)−1
−1+8tan(u)+16cos2(u)tan(u)−8tan(u)
Grouper comme termes=8tan(u)+16cos2(u)tan(u)−8tan(u)−1
Additionner les éléments similaires : 8tan(u)−8tan(u)=0=16cos2(u)tan(u)−1
=16cos2(u)tan(u)−1
=16cos2(u)tan(u)−1
Utiliser l'identité trigonométrique de base: tan(x)=cos(x)sin(x)​=−1+16cos2(u)cos(u)sin(u)​
16cos2(u)cos(u)sin(u)​=16sin(u)cos(u)
16cos2(u)cos(u)sin(u)​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=cos(u)sin(u)⋅16cos2(u)​
Annuler le facteur commun : cos(u)=16sin(u)cos(u)
=−1+16sin(u)cos(u)
Utiliser l'identité d'angle double: 2sin(x)cos(x)=sin(2x)sin(x)cos(x)=2sin(2x)​=−1+16⋅2sin(2u)​
−1+16⋅2sin(2u)​=0
16⋅2sin(2u)​=8sin(2u)
16⋅2sin(2u)​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2sin(2u)⋅16​
Diviser les nombres : 216​=8=8sin(2u)
−1+8sin(2u)=0
Déplacer 1vers la droite
−1+8sin(2u)=0
Ajouter 1 aux deux côtés−1+8sin(2u)+1=0+1
Simplifier8sin(2u)=1
8sin(2u)=1
Diviser les deux côtés par 8
8sin(2u)=1
Diviser les deux côtés par 888sin(2u)​=81​
Simplifiersin(2u)=81​
sin(2u)=81​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
sin(2u)=81​
Solutions générales pour sin(2u)=81​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πn2u=arcsin(81​)+2πn,2u=π−arcsin(81​)+2πn
2u=arcsin(81​)+2πn,2u=π−arcsin(81​)+2πn
Résoudre 2u=arcsin(81​)+2πn:u=2arcsin(81​)​+πn
2u=arcsin(81​)+2πn
Diviser les deux côtés par 2
2u=arcsin(81​)+2πn
Diviser les deux côtés par 222u​=2arcsin(81​)​+22πn​
Simplifieru=2arcsin(81​)​+πn
u=2arcsin(81​)​+πn
Résoudre 2u=π−arcsin(81​)+2πn:u=2π​−2arcsin(81​)​+πn
2u=π−arcsin(81​)+2πn
Diviser les deux côtés par 2
2u=π−arcsin(81​)+2πn
Diviser les deux côtés par 222u​=2π​−2arcsin(81​)​+22πn​
Simplifieru=2π​−2arcsin(81​)​+πn
u=2π​−2arcsin(81​)​+πn
u=2arcsin(81​)​+πn,u=2π​−2arcsin(81​)​+πn
Remplacer u=2θ​
2θ​=2arcsin(81​)​+πn:θ=arcsin(81​)+2πn
2θ​=2arcsin(81​)​+πn
Multiplier les deux côtés par 2
2θ​=2arcsin(81​)​+πn
Multiplier les deux côtés par 222θ​=2⋅2arcsin(81​)​+2πn
Simplifier
22θ​=2⋅2arcsin(81​)​+2πn
Simplifier 22θ​:θ
22θ​
Diviser les nombres : 22​=1=θ
Simplifier 2⋅2arcsin(81​)​+2πn:arcsin(81​)+2πn
2⋅2arcsin(81​)​+2πn
2⋅2arcsin(81​)​=arcsin(81​)
2⋅2arcsin(81​)​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2arcsin(81​)⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=arcsin(81​)
=arcsin(81​)+2πn
θ=arcsin(81​)+2πn
θ=arcsin(81​)+2πn
θ=arcsin(81​)+2πn
2θ​=2π​−2arcsin(81​)​+πn:θ=π−arcsin(81​)+2πn
2θ​=2π​−2arcsin(81​)​+πn
Multiplier les deux côtés par 2
2θ​=2π​−2arcsin(81​)​+πn
Multiplier les deux côtés par 222θ​=2⋅2π​−2⋅2arcsin(81​)​+2πn
Simplifier
22θ​=2⋅2π​−2⋅2arcsin(81​)​+2πn
Simplifier 22θ​:θ
22θ​
Diviser les nombres : 22​=1=θ
Simplifier 2⋅2π​−2⋅2arcsin(81​)​+2πn:π−arcsin(81​)+2πn
2⋅2π​−2⋅2arcsin(81​)​+2πn
2⋅2π​=π
2⋅2π​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2π2​
Annuler le facteur commun : 2=π
2⋅2arcsin(81​)​=arcsin(81​)
2⋅2arcsin(81​)​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2arcsin(81​)⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=arcsin(81​)
=π−arcsin(81​)+2πn
θ=π−arcsin(81​)+2πn
θ=π−arcsin(81​)+2πn
θ=π−arcsin(81​)+2πn
θ=arcsin(81​)+2πn,θ=π−arcsin(81​)+2πn
Montrer les solutions sous la forme décimaleθ=0.12532…+2πn,θ=π−0.12532…+2πn

Graphe

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6cos^2(x)+cos(x)-1=06cos2(x)+cos(x)−1=06sin^2(x)-5cos(x)-2=06sin2(x)−5cos(x)−2=0sec(x)-4=0sec(x)−4=0csc(θ)-cot^2(θ)+1=0csc(θ)−cot2(θ)+1=0sin(x-40)=1sin(x−40∘)=1
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