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Popular Trigonometría >

2sin(2θ)-3-6/(sin(2θ)-1)=0

Solución

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Solución

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Grados

θ = 10 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 16 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Usando el método de sustitución

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Sea:

sin (2 θ) = u

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0 : u = 3, u = - \frac{1}{2}

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

Multiplicar ambos lados por

u - 1

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

Multiplicar ambos lados por

u - 1

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - \frac{6}{u - 1} (u - 1) = 0 \cdot (u - 1)

Simplificar

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - \frac{6}{u - 1} (u - 1) = 0 \cdot (u - 1)

Simplificar

- \frac{6}{u - 1} (u - 1) : - 6

- \frac{6}{u - 1} (u - 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{6 ( u - 1 )}{u - 1}

Eliminar los terminos comunes:

u - 1

= - 6

Simplificar

0 \cdot (u - 1) : 0

0 \cdot (u - 1)

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

Resolver

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0 : u = 3, u = - \frac{1}{2}

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

Desarrollar

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 : 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6

Expandir

2 u (u - 1) : 2 u^{2} - 2 u

2 u (u - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 u, b = u, c = 1

= 2 uu - 2 u \cdot 1

= 2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u

Simplificar

2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u : 2 u^{2} - 2 u

2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u

2 uu = 2 u^{2}

2 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

2 \cdot 1 \cdot u = 2 u

2 \cdot 1 \cdot u

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u

= 2 u^{2} - 2 u

= 2 u^{2} - 2 u

= 2 u^{2} - 2 u - 3 (u - 1) - 6

Expandir

- 3 (u - 1) : - 3 u + 3

- 3 (u - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = u, c = 1

= - 3 u - (- 3) \cdot 1

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 u + 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 u + 3

= 2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6

Simplificar

2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6 : 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6

Sumar elementos similares:

- 2 u - 3 u = - 5 u

= 2 u^{2} - 5 u + 3 - 6

Sumar/restar lo siguiente:

3 - 6 = - 3

= 2 u^{2} - 5 u - 3

= 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u^{2} - 5 u - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 5 u - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 5, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 7

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Sumar:

25 + 24 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2} : 3

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 + 7}{2 \cdot 2}

Sumar:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{4}

Dividir:

\frac{12}{4} = 3

= 3

u = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 - 7}{2 \cdot 2}

Restar:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 3, u = - \frac{1}{2}

u = 3, u = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1

Tomar el(los) denominador(es) de

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1}

y comparar con cero

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 3, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (2 θ)

sin (2 θ) = 3, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 3, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 3 :

Sin solución

sin (2 θ) = 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Resolver

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{12} + πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplificar

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{12} + πn

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} = \frac{7 π}{12}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{7 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

Resolver

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{11 π}{12} + πn

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplificar

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{11 π}{12} + πn

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} = \frac{11 π}{12}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{11 π}{6 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{11 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(ax)=0

cos(x+30)=2cos(x)

solvefor x,sec(x)tan(x)=2sqrt(3)

4sin(x)+2sqrt(2)=0

sin(4x)+sin(2x)=0,0<= x<= 180