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Popular Trigonometría >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(9/7)

Solución

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Solución

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Pasos de solución

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (x) + arctan (1 - x)

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{9}{7}))

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

tan (arctan (\frac{9}{7}))

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

Usar la siguiente identidad:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{9}{7}

= \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Resolver

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7} : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Multiplicar cruzado

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Simplificar

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Agrupar términos semejantes

= x - x + 1

Sumar elementos similares:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Simplificar

1 \cdot 7 : 7

1 \cdot 7

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 7 = 7

= 7

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Resolver

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9 : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Desarrollar

(1 - x (1 - x)) \cdot 9 : 9 - 9 x + 9 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

Expandir

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Expandir

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Simplificar

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 9 (x^{2} - x + 1)

= 9 (1 - x + x^{2})

Aplicar la siguiente regla de productos notables

= 9 \cdot 1 + 9 (- x) + 9 x^{2}

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= 9 \cdot 1 - 9 x + 9 x^{2}

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 x + 9 x^{2}

7 = 9 - 9 x + 9 x^{2}

Intercambiar lados

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Desplace

7

a la izquierda

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Restar

7

de ambos lados

9 - 9 x + 9 x^{2} - 7 = 7 - 7

Simplificar

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 9, b = - 9, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Restar:

81 - 72 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 9}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}, x_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

x = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 9}

Sumar:

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{2}{3}

x = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 9}

Restar:

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 9}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{18}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{1}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{2}{3} :

Verdadero

\frac{2}{3}

Sustituir

n = 1

\frac{2}{3}

Multiplicar

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

por

x = \frac{2}{3}

arctan (\frac{2}{3}) + arctan (1 - \frac{2}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Simplificar

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{1}{3} :

Verdadero

\frac{1}{3}

Sustituir

n = 1

\frac{1}{3}

Multiplicar

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

por

x = \frac{1}{3}

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (1 - \frac{1}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Simplificar

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Gráfica

Ejemplos populares

(2cos(x)+1)(sin(x)-1)=0

3cos^2(θ)-sin^2(θ)=0

sin(x)=((sqrt(6))/4)

sqrt(3)*sin(x)+cos(x)=sqrt(3)

sin(θ)=(sqrt(5))/5