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Popular Trigonometría >

cos(4x)-3cos(2x)-1=0

Solución

cos (4 x) - 3 cos (2 x) - 1 = 0

Solución

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (4 x) - 3 cos (2 x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (4 x) - 3 cos (2 x)

cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

cos (4 x)

Reescribir como

= cos (2 \cdot 2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

cos (2 \cdot 2 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 cos (2 x)

Simplificar

- 1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 cos (2 x) : 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) - 2

- 1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 cos (2 x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) - 1 - 1

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) - 2

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) - 2

- 2 + 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + 2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) = 0

Sea:

cos (2 x) = u

- 2 + 2 u^{2} - 3 u = 0

- 2 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 2, u = - \frac{1}{2}

- 2 + 2 u^{2} - 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 3 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 5

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Sumar:

9 + 16 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 2} : 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 5}{2 \cdot 2}

Sumar:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 5}{2 \cdot 2}

Restar:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 2, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (2 x)

cos (2 x) = 2, cos (2 x) = - \frac{1}{2}

cos (2 x) = 2, cos (2 x) = - \frac{1}{2}

cos (2 x) = 2 :

Sin solución

cos (2 x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (2 x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

cos (2 x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (2 x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{2 π}{3} + 2 πn : x = \frac{π}{3} + πn

2 x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Resolver

2 x = \frac{4 π}{3} + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + πn

2 x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(2x)=0.3,-180\circ <= x<= 180