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Popolare Trigonometria >

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

Soluzione

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzione

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gradi

x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Sottrarre

\frac{1}{2} sin (x)

da entrambi i lati

\frac{3}{2} cos (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(\frac{3}{2} cos (x))^{2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x))^{2}

Sottrarre

(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x))^{2}

da entrambi i lati

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x) = 0

Semplifica

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x) : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x )}{4}

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x)

\frac{3}{4} cos^{2} (x) = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4}

\frac{3}{4} cos^{2} (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4}

\frac{1}{2} sin (x) = \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{4} sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

\frac{1}{4} sin^{2} (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{4}

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4} - \frac{1}{4} + \frac{sin ( x )}{2} - \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

Combinare le frazioni

\frac{3 cos ^{2} ( x )}{4} - \frac{1}{4} - \frac{sin ^{2} ( x )}{4} : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 1}{4} + \frac{sin ( x )}{2}

Minimo Comune Multiplo di

4, 2 : 4

4, 2

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 2

= 2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

4

Per

\frac{sin ( x )}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{sin ( x )}{2} = \frac{sin ( x ) \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{sin ( x ) \cdot 2}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4} + \frac{sin ( x ) \cdot 2}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 2}{4}

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 cos^{2} (x) - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Semplifica

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x) : 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 1 + 3

Aggiungi elementi simili:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1 + 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 3 = 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

2 + 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

2 + 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 4, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Aggiungi i numeri:

4 + 32 = 36

= 36

Fattorizzare il numero:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 ( - 4 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 6}{- 2 \cdot 4}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )} : 1

\frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 6}{- 2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{- 8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{8}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluzioni generali per

sin (x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Per

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

inserisci la

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Affinare

- 1 = 0.5

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Vero

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Per

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

inserisci la

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Affinare

0.5 = 0.5

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

inserisci la

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Affinare

0.5 = 0.5

\Rightarrow Vero

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

cos(x)=(-4)/5

cos (x) = \frac{- 4}{5}

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

3 cot (\frac{3}{2}) + 2 csc (\frac{x}{2}) = 0, 0^{\circ} \leq, x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

cos (x) = 2 cos (4 5^{\circ} + x)

2sin(θ)=1.124

2 sin (θ) = 1.124

cos(θ)=-0.11

cos (θ) = - 0.11