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Popular Trigonometría >

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

Solución

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Solución

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Restar

\frac{1}{2} sin (x)

de ambos lados

\frac{3}{2} cos (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(\frac{3}{2} cos (x))^{2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x))^{2}

Restar

(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} sin (x))^{2}

de ambos lados

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x) = 0

Simplificar

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x) : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x )}{4}

\frac{3}{4} cos^{2} (x) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{4} sin^{2} (x)

\frac{3}{4} cos^{2} (x) = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4}

\frac{3}{4} cos^{2} (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4}

\frac{1}{2} sin (x) = \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{2}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{4} sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

\frac{1}{4} sin^{2} (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{4}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{4} - \frac{1}{4} + \frac{sin ( x )}{2} - \frac{sin ^{2} ( x )}{4}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 1}{4} + \frac{sin ( x )}{2}

Mínimo común múltiplo de

4, 2 : 4

4, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( x )}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{sin ( x )}{2} = \frac{sin ( x ) \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{sin ( x ) \cdot 2}{4}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x )}{4} + \frac{sin ( x ) \cdot 2}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 2}{4}

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - 1 - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 cos^{2} (x) - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x) : 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 1 + 3

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

= 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 2

2 + 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

2 + 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 6}{- 2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )} : 1

\frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 6}{- 2 \cdot 4}

Restar:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

por

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Simplificar

- 1 = 0.5

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Verdadero

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

por

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Simplificar

0.5 = 0.5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

\frac{3}{2} cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + \frac{1}{2} sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = \frac{1}{2}

Simplificar

0.5 = 0.5

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(x)=(-4)/5

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

2sin(θ)=1.124

cos(θ)=-0.11