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Popular Trigonometría >

4cos(x)=sin^2(x)+1

Solución

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Solución

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Grados

x = 63.28904 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 296.71095 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Restar

sin^{2} (x) + 1

de ambos lados

4 cos (x) - sin^{2} (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin^{2} (x) + 4 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Simplificar

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) : cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 - 1 + cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

- 2 + u^{2} + 4 u = 0 : u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 26

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 4^{2} + 8

4^{2} = 16

= 16 + 8

Sumar:

16 + 8 = 24

= 24

Descomposición en factores primos de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

divida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Simplificar

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 6}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 + 6

\frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 + 2 6}{2}

Factorizar

- 4 + 26 : 2 (- 2 + 6)

- 4 + 26

Reescribir como

= - 2 \cdot 2 + 26

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 2 + 6)

= \frac{2 ( - 2 + 6 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 2 + 6

u = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 - 6

\frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 - 2 6}{2}

Factorizar

- 4 - 26 : - 2 (2 + 6)

- 4 - 26

Reescribir como

= - 2 \cdot 2 - 26

Factorizar el termino común

2

= - 2 (2 + 6)

= - \frac{2 ( 2 + 6 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - (2 + 6)

Negar

- (2 + 6) = - 2 - 6

= - 2 - 6

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6 : x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 + 6

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 2 + 6

Soluciones generales para

cos (x) = - 2 + 6

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 6 :

Sin solución

cos (x) = - 2 - 6

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cot(A)= 24/7

(sin(74))/8 =(sin(a))/4

sin(x)=sin(x-pi/2)

tan(x)= pi/3

cos(x)=-0.58