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Popular Trigonometría >

8sin(θ)+15cos(θ)=18

Solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

Pasos de solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

Restar

15 cos (θ)

de ambos lados

8 sin (θ) = 18 - 15 cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(8 sin (θ))^{2} = (18 - 15 cos (θ))^{2}

Restar

(18 - 15 cos (θ))^{2}

de ambos lados

64 sin^{2} (θ) - 324 + 540 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 324 + 64

Sumar elementos similares:

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) - 324 + 64

Sumar/restar lo siguiente:

- 324 + 64 = - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 260 - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 260 - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0 : u = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, u = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 540 u - 260 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 289 u^{2} + 540 u - 260 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 289, b = 540, c = - 260

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 54 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 260 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 54 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 260 )}{2 ( - 289 )}

Simplificar

54 0^{2} - 4 (- 289) (- 260) : 1635 i

54 0^{2} - 4 (- 289) (- 260)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 54 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 260

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 289 \cdot 260 = 300560

= 54 0^{2} - 300560

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 300560 - 54 0^{2}

- 54 0^{2} + 300560 = 1635

- 54 0^{2} + 300560

54 0^{2} = 291600

= - 291600 + 300560

Sumar/restar lo siguiente:

- 291600 + 300560 = 8960

= 8960

Descomposición en factores primos de

8960 : 2^{8} \cdot 5 \cdot 7

8960

8960

divida por

28960 = 4480 \cdot 2

= 2 \cdot 4480

4480

divida por

24480 = 2240 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2240

2240

divida por

22240 = 1120 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1120

1120

divida por

21120 = 560 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 560

560

divida por

2560 = 280 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 280

280

divida por

2280 = 140 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 140

140

divida por

2140 = 70 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 70

70

divida por

270 = 35 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 35

35

divida por

535 = 7 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7

2, 5, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 5 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 5 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{8} 5 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 5 \cdot 7

Simplificar

= 1635

= 1635 i

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 16 35 i}{2 ( - 289 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )}, u_{2} = \frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )} : \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}

\frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 540 + 16 35 i}{- 2 \cdot 289}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 540 + 16 35 i}{- 578}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 540 + 16 35 i}{578}

Cancelar

\frac{- 540 + 16 35 i}{578} : \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

\frac{- 540 + 16 35 i}{578}

Factorizar

- 540 + 1635 i : 4 (- 135 + 435 i)

- 540 + 1635 i

Reescribir como

= - 4 \cdot 135 + 4 \cdot 435 i

Factorizar el termino común

4

= 4 (- 135 + 435 i)

= \frac{4 ( - 135 + 4 35 i )}{578}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

= - \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

Reescribir

- \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

en la forma binómica:

\frac{270}{289} - \frac{8 35}{289} i

- \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

Expandir

2 (- 135 + 435 i) : - 270 + 835 i

2 (- 135 + 435 i)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 135, c = 435 i

= 2 (- 135) + 2 \cdot 435 i

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

Simplificar

- 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i : - 270 + 835 i

- 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 135 = 270

= - 270 + 2 \cdot 435 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= - 270 + 835 i

= - 270 + 835 i

= - \frac{- 270 + 8 35 i}{289}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 270 + 8 35 i}{289} = - (- \frac{270}{289}) - (\frac{8 35 i}{289})

= - (- \frac{270}{289}) - (\frac{8 35 i}{289})

Quitar los parentesis:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{270}{289} - \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} - \frac{8 35}{289} i

u = \frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )} : \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

\frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 540 - 16 35 i}{- 2 \cdot 289}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 540 - 16 35 i}{- 578}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 540 - 16 35 i}{578}

Cancelar

\frac{- 540 - 16 35 i}{578} : - \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

\frac{- 540 - 16 35 i}{578}

Factorizar

- 540 - 1635 i : - 4 (135 + 435 i)

- 540 - 1635 i

Reescribir como

= - 4 \cdot 135 - 4 \cdot 435 i

Factorizar el termino común

4

= - 4 (135 + 435 i)

= - \frac{4 ( 135 + 4 35 i )}{578}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

= - (- \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

Reescribir

\frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

en la forma binómica:

\frac{270}{289} + \frac{8 35}{289} i

\frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

Expandir

2 (135 + 435 i) : 270 + 835 i

2 (135 + 435 i)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = 135, c = 435 i

= 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

Simplificar

2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i : 270 + 835 i

2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 135 = 270

= 270 + 2 \cdot 435 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= 270 + 835 i

= 270 + 835 i

= \frac{270 + 8 35 i}{289}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{270 + 8 35 i}{289} = \frac{270}{289} + \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} + \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} + \frac{8 35}{289} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, u = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289} :

Sin solución

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289} :

Sin solución

cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

Gráfica

Ejemplos populares

(30)/(sin(A))=(34.4)/(sin(62))

-5sin(x)=-2cos^2(x)+4,0<= x<= 2pi

solvefor t,4.6=0.106cos(4.36t)

sin(x)= 23/24

5-5cos(x)=4sin^2(x)