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Popular Trigonometría >

solvefor x,4cos^2(x)=5-4sin(x)

Solución

resolver para

x, 4 cos^{2} (x) = 5 - 4 sin (x)

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos^{2} (x) = 5 - 4 sin (x)

Restar

5 - 4 sin (x)

de ambos lados

4 cos^{2} (x) - 5 + 4 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 5 + 4 cos^{2} (x) + 4 sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x)

Simplificar

- 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x) : 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 1

- 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x)

Expandir

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 5 + 4 - 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 4 = - 1

= 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 1

= 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 1

- 1 + 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Restar:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

|cos(x)|=(sqrt(3))/2

tan(θ)=(-1)/(sqrt(3)),0<= θ<= 360

tan((91pi)/(36))=cos(360-x)

2sin(3x-pi/6)+sqrt(3)=0

12=3sec(θ)+5csc(θ)