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Popular Trigonometria >

cos(x)=sqrt((1-cos(x))/2)

Solução

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Usando o método de substituição

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Sea:

cos (x) = u

u = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

Elevar ambos os lados ao quadrado :

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = (\frac{1 - u}{2})^{2}

Expandir

(\frac{1 - u}{2})^{2} : \frac{1 - u}{2}

(\frac{1 - u}{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}, u = - 1

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Multiplicar ambos os lados por

2

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Multiplicar ambos os lados por

2

u^{2} \cdot 2 = \frac{1 - u}{2} \cdot 2

Simplificar

2 u^{2} = 1 - u

2 u^{2} = 1 - u

Mova

u

para o lado esquerdo

2 u^{2} = 1 - u

Adicionar

u

a ambos os lados

2 u^{2} + u = 1 - u + u

Simplificar

2 u^{2} + u = 1

2 u^{2} + u = 1

Mova

1

para o lado esquerdo

2 u^{2} + u = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u^{2} + u - 1 = 1 - 1

Simplificar

2 u^{2} + u - 1 = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrair:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Verifique soluções:

u = \frac{1}{2}

Verdadeiro

, u = - 1

Falso

Verificar as soluções inserindo-as em

u = \frac{1 - u}{2}

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Inserir

u = \frac{1}{2} :

Verdadeiro

\frac{1}{2} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

Remover os parênteses:

(a) = a

= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

Simplificar

1 - \frac{1}{2}

em uma fração:

\frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Subtrair:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{1}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar a regra

1 = 1

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadeiro

Inserir

u = - 1 :

Falso

- 1 = \frac{1 - ( - 1 )}{2}

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

\frac{1 - ( - 1 )}{2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 1}{2}

\frac{1 + 1}{2} = 1

\frac{1 + 1}{2}

Somar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

- 1 = 1

Falso

A solução é

u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

7cos(4x)=6

7 cos (4 x) = 6

-120=-90-arctan(0.1)+arctan(0.1x)

- 120 = - 90 - arctan (0.1) + arctan (0.1 x)

3tan(x)=0

3 tan (x) = 0

2sin^2(x)-15sin(x)+7=0

2 sin^{2} (x) - 15 sin (x) + 7 = 0

solvefor x,cos(x)=(-3)/5

so l v e f or x, cos (x) = \frac{- 3}{5}