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Popular Trigonometría >

cos(2x)sin(x)=1

Solución

cos (2 x) sin (x) = 1

Solución

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) sin (x) = 1

Restar

1

de ambos lados

cos (2 x) sin (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x)

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

Desarrollar

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u : - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u

= - 1 + u (1 - 2 u^{2})

Expandir

u (1 - 2 u^{2}) : u - 2 u^{3}

u (1 - 2 u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = 2 u^{2}

= u \cdot 1 - u \cdot 2 u^{2}

= 1 \cdot u - 2 u^{2} u

Simplificar

1 \cdot u - 2 u^{2} u : u - 2 u^{3}

1 \cdot u - 2 u^{2} u

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + u - 2 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 2 u^{3} + u - 1 = 0

Factorizar

- 2 u^{3} + u - 1 : - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- 2 u^{3} + u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u^{3} - u + 1)

Factorizar

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u + 1

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} - u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u^{2}

Substraer

2 u^{3} + 2 u^{2}

2 u^{3} - u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u^{2} - u + 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u^{2} - u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Cociente = - 2 u

Multiplicar

u + 1

por

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Substraer

- 2 u^{2} - 2 u

- 2 u^{2} - u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u + 1

Por lo tanto

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u + 1

por

1 : u + 1

Substraer

u + 1

u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

= - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 8 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Factorizar

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + i}{2}

Reescribir

\frac{1 + i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Factorizar

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 - i}{2}

Reescribir

\frac{1 - i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sin solución

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sin solución

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(θ)=10

17.6^2=15^2+13.1^2-2(15)(13.1)*cos(A)

sin(θ)=45

cot(θ)+2csc(θ)=6

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5