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Popular Trigonometría >

4csc(x)+sin(x)+5=0

Solución

4 csc (x) + sin (x) + 5 = 0

Solución

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 csc (x) + sin (x) + 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 + sin (x) + 4 csc (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 5 + \frac{1}{csc ( x )} + 4 csc (x)

5 + \frac{1}{csc ( x )} + 4 csc (x) = 0

Usando el método de sustitución

5 + \frac{1}{csc ( x )} + 4 csc (x) = 0

Sea:

csc (x) = u

5 + \frac{1}{u} + 4 u = 0

5 + \frac{1}{u} + 4 u = 0 : u = - \frac{1}{4}, u = - 1

5 + \frac{1}{u} + 4 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

5 + \frac{1}{u} + 4 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

5 u + \frac{1}{u} u + 4 uu = 0 \cdot u

Simplificar

5 u + \frac{1}{u} u + 4 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1

Simplificar

4 uu : 4 u^{2}

4 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

5 u + 1 + 4 u^{2} = 0

5 u + 1 + 4 u^{2} = 0

5 u + 1 + 4 u^{2} = 0

Resolver

5 u + 1 + 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{4}, u = - 1

5 u + 1 + 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 5 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 5 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 3

5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Restar:

25 - 16 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 5 - 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 5 + 3}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{4}

\frac{- 5 + 3}{2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{4}

u = \frac{- 5 - 3}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 5 - 3}{2 \cdot 4}

Restar:

- 5 - 3 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{4}, u = - 1

u = - \frac{1}{4}, u = - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

5 + \frac{1}{u} + 4 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - \frac{1}{4}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = - \frac{1}{4}, csc (x) = - 1

csc (x) = - \frac{1}{4}, csc (x) = - 1

csc (x) = - \frac{1}{4} :

Sin solución

csc (x) = - \frac{1}{4}

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Soluciones generales para

csc (x) = - 1

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

-3sin(3x)=1

cos(θ)= 3/5 (270360)

2sin(x)=tan(x)cos(x)-cos(x)

tan(x)= 27/48

cos(θ)-sin(θ)=1,0<= θ<= 2pi