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Populaire Trigonométrie >

tan(x)+sec(x)=2

Solution

tan (x) + sec (x) = 2

Solution

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Degrés

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan (x) + sec (x) = 2

Soustraire

2

des deux côtés

tan (x) + sec (x) - 2 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 2 = 0

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 2 : \frac{sin ( x ) + 1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 2

Combiner les fractions

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) + 1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) + 1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) + 1 - 2 cos (x) = 0

Ajouter

2 cos (x)

aux deux côtés

sin (x) + 1 = 2 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(sin (x) + 1)^{2} = (2 cos (x))^{2}

Soustraire

(2 cos (x))^{2}

des deux côtés

(sin (x) + 1)^{2} - 4 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(1 + sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x))

Simplifier

(1 + sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) : 5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3

(1 + sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x))

(1 + sin (x))^{2} : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplifier

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 (1 - sin^{2} (x))

Développer

- 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 + 4 sin^{2} (x)

- 4 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Simplifier

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x) : 5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) + 1 - 4

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) = 5 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) + 1 - 4

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 4 = - 3

= 5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3

= 5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3

= 5 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3

- 3 + 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 3 + 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 3 + 2 u + 5 u^{2} = 0

- 3 + 2 u + 5 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{5}, u = - 1

- 3 + 2 u + 5 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 5, b = 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3) = 8

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Additionner les nombres :

4 + 60 = 64

= 64

Factoriser le nombre :

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 8}{2 \cdot 5}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5} : \frac{3}{5}

\frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 8 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3}{5}

u = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5} : - 1

\frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

Soustraire les nombres :

- 2 - 8 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3}{5}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{3}{5}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{3}{5}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Solutions générales pour

sin (x) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

tan (x) + sec (x) = 2

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

vrai

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Pour

tan (x) + sec (x) = 2

insérer

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

tan (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + sec (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

2 = 2

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Faux

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Pour

tan (x) + sec (x) = 2

insérer

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

tan (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + sec (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

- 2 = 2

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Faux

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Pour

tan (x) + sec (x) = 2

insérer

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 2

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(x)= 4/5 , pi/2 <= x<= pi

sin (x) = \frac{4}{5}, \frac{π}{2} \leq x \leq π

cos(x)= 1/(sqrt(37))

cos (x) = \frac{1}{37}

sin(x)=0.2174

sin (x) = 0.2174

solvefor x,arccot(x^2)y=arccot(x^2)

so l v e f or x, arccot (x^{2}) y = arccot (x^{2})

50/33 =(sin(x))/(sin(120-x))

\frac{50}{33} = \frac{sin ( x )}{sin ( 12 0 ^{\circ} - x )}