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Beliebt Trigonometrie >

3cot(x)=2sin(x)

Lösung

3 cot (x) = 2 sin (x)

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cot (x) = 2 sin (x)

Subtrahiere

2 sin (x)

von beiden Seiten

3 cot (x) - 2 sin (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 sin (x) = 0

Vereinfache

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 sin (x) : \frac{3 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 sin (x)

Multipliziere

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 3}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )} - 2 sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) \cdot 3}{sin ( x )} - \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 3 - 2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \cdot 3 - 2 sin (x) sin (x) = 3 cos (x) - 2 sin^{2} (x)

cos (x) \cdot 3 - 2 sin (x) sin (x)

2 sin (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

= 3 cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= \frac{3 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{3 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Füge

2 sin^{2} (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 cos (x) = 2 sin^{2} (x)

Quadriere beide Seiten

(3 cos (x))^{2} = (2 sin^{2} (x))^{2}

Subtrahiere

(2 sin^{2} (x))^{2}

von beiden Seiten

9 cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x) = 0

Faktorisiere

9 cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x) : (3 cos (x) + 2 sin^{2} (x)) (3 cos (x) - 2 sin^{2} (x))

9 cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x)

Schreibe

9 cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x)

um:

(3 cos (x))^{2} - (2 sin^{2} (x))^{2}

9 cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x)

Schreibe

9

um:

3^{2}

= 3^{2} cos^{2} (x) - 4 sin^{4} (x)

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 3^{2} cos^{2} (x) - 2^{2} sin^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= 3^{2} cos^{2} (x) - 2^{2} (sin^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= (3 cos (x))^{2} - 2^{2} (sin^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (2 sin^{2} (x))^{2}

= (3 cos (x))^{2} - (2 sin^{2} (x))^{2}

= (3 cos (x))^{2} - (2 sin^{2} (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 cos (x))^{2} - (2 sin^{2} (x))^{2} = (3 cos (x) + 2 sin^{2} (x)) (3 cos (x) - 2 sin^{2} (x))

= (3 cos (x) + 2 sin^{2} (x)) (3 cos (x) - 2 sin^{2} (x))

(3 cos (x) + 2 sin^{2} (x)) (3 cos (x) - 2 sin^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

3 cos (x) + 2 sin^{2} (x) = 0 or 3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

3 cos (x) + 2 sin^{2} (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

3 cos (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 2

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

Schreibe

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

um:

2 - 2 u^{2} + 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

= 2 (1 - u^{2}) + 3 u

Multipliziere aus

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} + 3 u

2 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 2 :

Keine Lösung

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- (1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 2

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

Schreibe

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

um:

- 2 + 2 u^{2} + 3 u

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

= - 2 (1 - u^{2}) + 3 u

Multipliziere aus

- 2 (1 - u^{2}) : - 2 + 2 u^{2}

- 2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = u^{2}

= - 2 \cdot 1 - (- 2) u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 u^{2}

= - 2 + 2 u^{2} + 3 u

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 5

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2} : - 2

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 2

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 2

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - 2 :

Keine Lösung

cos (x) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cot (x) = 2 sin (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

3 cot (x) = 2 sin (x)

ein, um zu lösen

3 cot (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 2 sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

3 cot (x) = 2 sin (x)

ein, um zu lösen

3 cot (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 2 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.73205 \dots = - 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

3 cot (x) = 2 sin (x)

ein, um zu lösen

3 cot (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 2 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

3 cot (x) = 2 sin (x)

ein, um zu lösen

3 cot (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 2 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.73205 \dots = - 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(a)= 7/12

tan (a) = \frac{7}{12}

sin(5x)=cos(3x)

sin (5 x) = cos (3 x)

sin^3(x)= 1/8

sin^{3} (x) = \frac{1}{8}

solvefor y,sin(y^2)=x

so l v e f or y, sin (y^{2}) = x

cos(7x)=-(sqrt(3))/2

cos (7 x) = - \frac{3}{2}