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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)-cos(x)=0.5

Lösung

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

Lösung

x = - 2.90345 \dots + 2 πn, x = 0.68916 \dots + 2 πn

Grad

x = - 166.35591 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.48601 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

Füge

cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) = 0.5 + cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (0.5 + cos (x))^{2}

Subtrahiere

(0.5 + cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 5 cos^{2} (x) - cos (x) + 3.75

- 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 5 cos^{2} (x) - cos (x) + 3.75

- 0.25 - cos (x) - cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (x) - cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) - 0.25 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 5 cos^{2} (x)

= - cos (x) - 5 cos^{2} (x) - 0.25 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 0.25 + 4 = 3.75

= - 5 cos^{2} (x) - cos (x) + 3.75

= - 5 cos^{2} (x) - cos (x) + 3.75

= - 5 cos^{2} (x) - cos (x) + 3.75

3.75 - cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3.75 - cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3.75 - u - 5 u^{2} = 0

3.75 - u - 5 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 2 19}{10}, u = \frac{2 19 - 1}{10}

3.75 - u - 5 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

100

3.75 - u - 5 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

3.75 \cdot 100 - u \cdot 100 - 5 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Fasse zusammen

375 - 100 u - 500 u^{2} = 0

375 - 100 u - 500 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 500 u^{2} - 100 u + 375 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 500 u^{2} - 100 u + 375 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 500, b = - 100, c = 375

u_{1, 2} = \frac{- ( - 100 ) \pm ( - 100 ) ^{2} - 4 ( - 500 ) \cdot 375}{2 ( - 500 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 100 ) \pm ( - 100 ) ^{2} - 4 ( - 500 ) \cdot 375}{2 ( - 500 )}

(- 100)^{2} - 4 (- 500) \cdot 375 = 20019

(- 100)^{2} - 4 (- 500) \cdot 375

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 100)^{2} + 4 \cdot 500 \cdot 375

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 100)^{2} = 10 0^{2}

= 10 0^{2} + 4 \cdot 500 \cdot 375

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 500 \cdot 375 = 750000

= 10 0^{2} + 750000

10 0^{2} = 10000

= 10000 + 750000

Addiere die Zahlen:

10000 + 750000 = 760000

= 760000

Primfaktorzerlegung von

760000 : 2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 19

760000

= 2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 19 2^{6} 5^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 19 5^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{3} \cdot 5^{2} 19

Fasse zusammen

= 20019

u_{1, 2} = \frac{- ( - 100 ) \pm 200 19}{2 ( - 500 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 100 ) + 200 19}{2 ( - 500 )}, u_{2} = \frac{- ( - 100 ) - 200 19}{2 ( - 500 )}

u = \frac{- ( - 100 ) + 200 19}{2 ( - 500 )} : - \frac{1 + 2 19}{10}

\frac{- ( - 100 ) + 200 19}{2 ( - 500 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{100 + 200 19}{- 2 \cdot 500}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 500 = 1000

= \frac{100 + 200 19}{- 1000}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{100 + 200 19}{1000}

Streiche

\frac{100 + 200 19}{1000} : \frac{1 + 2 19}{10}

\frac{100 + 200 19}{1000}

Faktorisiere

100 + 20019 : 100 (1 + 219)

100 + 20019

Schreibe um

= 100 \cdot 1 + 100 \cdot 219

Klammere gleiche Terme aus

100

= 100 (1 + 219)

= \frac{100 ( 1 + 2 19 )}{1000}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= \frac{1 + 2 19}{10}

= - \frac{1 + 2 19}{10}

u = \frac{- ( - 100 ) - 200 19}{2 ( - 500 )} : \frac{2 19 - 1}{10}

\frac{- ( - 100 ) - 200 19}{2 ( - 500 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{100 - 200 19}{- 2 \cdot 500}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 500 = 1000

= \frac{100 - 200 19}{- 1000}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

100 - 20019 = - (20019 - 100)

= \frac{200 19 - 100}{1000}

Faktorisiere

20019 - 100 : 100 (219 - 1)

20019 - 100

Schreibe um

= 100 \cdot 219 - 100 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

100

= 100 (219 - 1)

= \frac{100 ( 2 19 - 1 )}{1000}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= \frac{2 19 - 1}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 2 19}{10}, u = \frac{2 19 - 1}{10}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10}, cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10}

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10}, cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10}

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10} : x = arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1 + 2 19}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10} : x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 19 - 1}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1) - cos (arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

1.44355 \dots = 0.5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

ein, um zu lösen

2 sin (- arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1) - cos (- arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

0.5 = 0.5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1) - cos (arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

0.5 = 0.5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1

2 sin (x) - cos (x) = 0.5

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1) - cos (2 π - arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

- 2.04355 \dots = 0.5

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{1 + 2 19}{10}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 19 - 1}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.90345 \dots + 2 πn, x = 0.68916 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)-tan(x)=0

cos (x) - tan (x) = 0

2sin(x)-cos(x)=0.2

2 sin (x) - cos (x) = 0.2

tan^2(x)-tan(x)=0,0<= x<= 2pi

tan^{2} (x) - tan (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos(2x)= 1/9

cos (2 x) = \frac{1}{9}

((1))/((cot(θ)))=(-(7))/((25))

\frac{( 1 )}{( cot ( θ ) )} = \frac{- ( 7 )}{( 25 )}