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cos(x)+cos(2x)=-0.75

Solución

cos (x) + cos (2 x) = - 0.75

Solución

x = 1.38674 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.38674 \dots + 2 πn, x = 2.32267 \dots + 2 πn, x = - 2.32267 \dots + 2 πn

Grados

x = 79.45470 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 280.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 133.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 133.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) + cos (2 x) = - 0.75

Restar

- 0.75

de ambos lados

cos (x) + cos (2 x) + 0.75 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

0.75 + cos (2 x) + cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 0.75 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x)

Simplificar

0.75 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x) : 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 0.25

0.75 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) + 0.75 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

0.75 - 1 = - 0.25

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 0.25

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 0.25

- 0.25 + cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 0.25 + cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 3}{4}, u = - \frac{1 + 3}{4}

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

100

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

Para eliminar los puntos decimales, multiplique por 10 por cada digito después del punto decimalHay digitos

2

a la derecha del punto decimal, por lo que debe multiplicar por

100

- 0.25 \cdot 100 + u \cdot 100 + 2 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Simplificar

- 25 + 100 u + 200 u^{2} = 0

- 25 + 100 u + 200 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

200 u^{2} + 100 u - 25 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

200 u^{2} + 100 u - 25 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 200, b = 100, c = - 25

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 \cdot 200 ( - 25 )}{2 \cdot 200}

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 \cdot 200 ( - 25 )}{2 \cdot 200}

10 0^{2} - 4 \cdot 200 (- 25) = 1003

10 0^{2} - 4 \cdot 200 (- 25)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 10 0^{2} + 4 \cdot 200 \cdot 25

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 200 \cdot 25 = 20000

= 10 0^{2} + 20000

10 0^{2} = 10000

= 10000 + 20000

Sumar:

10000 + 20000 = 30000

= 30000

Descomposición en factores primos de

30000 : 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

30000

30000

divida por

230000 = 15000 \cdot 2

= 2 \cdot 15000

15000

divida por

215000 = 7500 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7500

7500

divida por

27500 = 3750 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3750

3750

divida por

23750 = 1875 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1875

1875

divida por

31875 = 625 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 625

625

divida por

5625 = 125 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 125

125

divida por

5125 = 25 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25

25

divida por

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{4} 5^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 5^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 3

Simplificar

= 1003

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 100 3}{2 \cdot 200}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200}, u_{2} = \frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200}

u = \frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200} : \frac{- 1 + 3}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 + 100 3}{400}

Factorizar

- 100 + 1003 : 100 (- 1 + 3)

- 100 + 1003

Reescribir como

= - 100 \cdot 1 + 1003

Factorizar el termino común

100

= 100 (- 1 + 3)

= \frac{100 ( - 1 + 3 )}{400}

Eliminar los terminos comunes:

100

= \frac{- 1 + 3}{4}

u = \frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200} : - \frac{1 + 3}{4}

\frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 - 100 3}{400}

Factorizar

- 100 - 1003 : - 100 (1 + 3)

- 100 - 1003

Reescribir como

= - 100 \cdot 1 - 1003

Factorizar el termino común

100

= - 100 (1 + 3)

= - \frac{100 ( 1 + 3 )}{400}

Eliminar los terminos comunes:

100

= - \frac{1 + 3}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 3}{4}, u = - \frac{1 + 3}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{- 1 + 3}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 3}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 3}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1 + 3}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.38674 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.38674 \dots + 2 πn, x = 2.32267 \dots + 2 πn, x = - 2.32267 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

solvefor x,2y=sin(2x)