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Beliebt Trigonometrie >

3sin(2x)=5cos^2(2x)-1

Lösung

3 sin (2 x) = 5 cos^{2} (2 x) - 1

Lösung

x = \frac{0.69892 \dots}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{0.69892 \dots}{2} + πn

Grad

x = 20.02283 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 69.97716 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (2 x) = 5 cos^{2} (2 x) - 1

Subtrahiere

5 cos^{2} (2 x) - 1

von beiden Seiten

3 sin (2 x) - 5 cos^{2} (2 x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 3 sin (2 x) - 5 cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + 3 sin (2 x) - 5 (1 - sin^{2} (2 x))

Vereinfache

1 + 3 sin (2 x) - 5 (1 - sin^{2} (2 x)) : 5 sin^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 4

1 + 3 sin (2 x) - 5 (1 - sin^{2} (2 x))

Multipliziere aus

- 5 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 5 + 5 sin^{2} (2 x)

- 5 (1 - sin^{2} (2 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 5 \cdot 1 - (- 5) sin^{2} (2 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 + 5 sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 + 5 sin^{2} (2 x)

= 1 + 3 sin (2 x) - 5 + 5 sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1 + 3 sin (2 x) - 5 + 5 sin^{2} (2 x) : 5 sin^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 4

1 + 3 sin (2 x) - 5 + 5 sin^{2} (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 sin (2 x) + 5 sin^{2} (2 x) + 1 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= 5 sin^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 4

= 5 sin^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 4

= 5 sin^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 4

- 4 + 3 sin (2 x) + 5 sin^{2} (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 + 3 sin (2 x) + 5 sin^{2} (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 4 + 3 u + 5 u^{2} = 0

- 4 + 3 u + 5 u^{2} = 0 : u = \frac{- 3 + 89}{10}, u = \frac{- 3 - 89}{10}

- 4 + 3 u + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} + 3 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} + 3 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = 3, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

3^{2} - 4 \cdot 5 (- 4) = 89

3^{2} - 4 \cdot 5 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 4 = 80

= 3^{2} + 80

3^{2} = 9

= 9 + 80

Addiere die Zahlen:

9 + 80 = 89

= 89

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 89}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 89}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 3 - 89}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 3 + 89}{2 \cdot 5} : \frac{- 3 + 89}{10}

\frac{- 3 + 89}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 3 + 89}{10}

u = \frac{- 3 - 89}{2 \cdot 5} : \frac{- 3 - 89}{10}

\frac{- 3 - 89}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 3 - 89}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 3 + 89}{10}, u = \frac{- 3 - 89}{10}

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10}, sin (2 x) = \frac{- 3 - 89}{10}

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10}, sin (2 x) = \frac{- 3 - 89}{10}

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10} : x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{- 3 + 89}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

Löse

2 x = π - arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π - arcsin (\frac{- 3 + 89}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{- 3 - 89}{10} :

Keine Lösung

sin (2 x) = \frac{- 3 - 89}{10}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 3 + 89}{10} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{0.69892 \dots}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{0.69892 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=2,sin^2(x)=0

sin (x) = 2, sin^{2} (x) = 0

cos(θ)=-sqrt(2)

cos (θ) = - 2

-8cos(2x)=0,(-pi,pi)

- 8 cos (2 x) = 0, (- π, π)

1.66=sin(x)

1.66 = sin (x)

sin(x)=(3pi)/2

sin (x) = \frac{3 π}{2}