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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(θ)-5cos(θ)=-4cos(θ)+3

Lösung

4 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = - 4 cos (θ) + 3

Lösung

θ = 2 πn, θ = 2.41885 \dots + 2 πn, θ = - 2.41885 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = - 4 cos (θ) + 3

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = - 4 cos (θ) + 3

Angenommen:

cos (θ) = u

4 u^{2} - 5 u = - 4 u + 3

4 u^{2} - 5 u = - 4 u + 3 : u = 1, u = - \frac{3}{4}

4 u^{2} - 5 u = - 4 u + 3

Verschiebe

3

auf die linke Seite

4 u^{2} - 5 u = - 4 u + 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

4 u^{2} - 5 u - 3 = - 4 u + 3 - 3

Vereinfache

4 u^{2} - 5 u - 3 = - 4 u

4 u^{2} - 5 u - 3 = - 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

4 u^{2} - 5 u - 3 = - 4 u

Füge

4 u

zu beiden Seiten hinzu

4 u^{2} - 5 u - 3 + 4 u = - 4 u + 4 u

Vereinfache

4 u^{2} - u - 3 = 0

4 u^{2} - u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 6}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{3}{4}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{3}{4}

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{3}{4}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = - \frac{3}{4} : θ = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{3}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = 2.41885 \dots + 2 πn, θ = - 2.41885 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,cos(x)=-0.5

so l v e f or x, cos (x) = - 0.5

-2cos(x)=3sin(x)

- 2 cos (x) = 3 sin (x)

3sin(x)-cos(2x)=1

3 sin (x) - cos (2 x) = 1

20=15cos(x)*2,47

20 = 15 cos (x) \cdot 2, 47

([sin(x)+cos(x)])/(cos(x))=sin(x)+1

\frac{[ sin ( x ) + cos ( x ) ]}{cos ( x )} = sin (x) + 1