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Beliebt Trigonometrie >

sinh(x)=2cosh(x)sinh(x)

Lösung

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Lösung

x = 0

Grad

x = 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) sinh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} : x = 0

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2

Vereinfache

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Wende Exponentenregel an

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} = (u + (u)^{- 1}) (u - (u)^{- 1})

Löse

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1}) : u = 1, u = - 1

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

Fasse zusammen

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Vereinfache

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Schreibe

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

um:

u^{3} - \frac{1}{u}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

= u (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Multipliziere aus

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) : u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = \frac{1}{u}

= u^{2} - (\frac{1}{u})^{2}

(\frac{1}{u})^{2} = \frac{1}{u ^{2}}

(\frac{1}{u})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{u ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

= u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Multipliziere aus

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) : u^{3} - \frac{1}{u}

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= u u^{2} - u \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

Vereinfache

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u : u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

u^{2} u = u^{3}

u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= u^{3}

\frac{1}{u ^{2}} u = \frac{1}{u}

\frac{1}{u ^{2}} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u ^{2}}

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= \frac{u}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Multipliziere beide Seiten mit

u

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Multipliziere beide Seiten mit

u

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Vereinfache

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Vereinfache

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Vereinfache

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= - u

Vereinfache

u^{3} u : u^{4}

u^{3} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u = u^{3 + 1}

= u^{3 + 1}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= u^{4}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Löse

u^{3} - u = u^{4} - 1 : u = 1, u = - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Tausche die Seiten

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Verschiebe

u

auf die linke Seite

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Füge

u

zu beiden Seiten hinzu

u^{4} - 1 + u = u^{3} - u + u

Vereinfache

u^{4} - 1 + u = u^{3}

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Verschiebe

u^{3}

auf die linke Seite

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Subtrahiere

u^{3}

von beiden Seiten

u^{4} - 1 + u - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Vereinfache

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{3} + u - 1 = 0

Faktorisiere

u^{4} - u^{3} + u - 1 : (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{4} - u^{3} + u - 1

= (u^{4} - u^{3}) + (u - 1)

Klammere

u^{3}

aus

u^{4} - u^{3}

aus

: u^{3} (u - 1)

u^{4} - u^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u u^{3}

= u u^{3} - u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

u^{3}

= u^{3} (u - 1)

= (u - 1) + u^{3} (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (u^{3} + 1)

Faktorisiere

u^{3} + 1 : (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{3} + 1

Schreibe

1

um:

1^{3}

= u^{3} + 1^{3}

Wende Formel zur Summe von dritten Potenzen an:

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

u^{3} + 1^{3} = (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

(u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or u + 1 = 0 or u^{2} - u + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u^{2} - u + 1 = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Diskriminante

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Für eine quadratische Gleichung in der Form

a x^{2} + b x + c = 0

ist die Diskriminante

b^{2} - 4 a c

Für

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Schreibe

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

um:

- 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Diskriminante kann nicht negativ sein für

u \in R

Deshalb ist die Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u - u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Löse

e^{x} = - 1 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = 0

x = 0

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)=sin(x)+1

cos^{2} (x) = sin (x) + 1

tan(x)= 5/(-4)

tan (x) = \frac{5}{- 4}

cot(α)=4.9

cot (α) = 4.9

0=8tan(θ)

0 = 8 tan (θ)

1=4sin^2(θ)

1 = 4 sin^{2} (θ)