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Popular Trigonometría >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

Solución

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Usando el método de sustitución

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Sea:

sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

Factorizar

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 3, a_{n} = 4

Los divisores de

a_{0} : 1, 3,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

y el divisor

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Cociente = 4 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Substraer

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 4 u^{2} + u + 3

Por lo tanto

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 4 u^{2} + u + 3

y el divisor

u - 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Cociente = - 4 u

Multiplicar

u - 1

por

- 4 u : - 4 u^{2} + 4 u

Substraer

- 4 u^{2} + 4 u

- 4 u^{2} + u + 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 3 u + 3

Por lo tanto

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} : \frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 3 u + 3

y el divisor

u - 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Cociente = - 3

Multiplicar

u - 1

por

- 3 : - 3 u + 3

Substraer

- 3 u + 3

- 3 u + 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

Factorizar

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

Factorizar la expresión

4 u^{2} - 4 u - 3

Definición

Factores de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

12 : 2, 2, 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los factores primos de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

12

1, 12

Divisores de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Factores negativos de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Por cada dos factores tales que

u * v = - 12,

revisar si

u + v = - 4

Revisar

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 6

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

Factorizar

2 u

4 u^{2} + 2 u

2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

Factorizar el termino común

2 u

= 2 u (2 u + 1)

Factorizar

- 3

- 6 u - 3

- 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Reescribir

6

como

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Factorizar el termino común

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Factorizar el termino común

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Las soluciones son

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

Sin solución

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(x)=0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

-2tan(x)+6=8