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Popular Trigonometría >

sin(x)+pi/2 =cos(x)

Solución

sin (x) + \frac{π}{2} = cos (x)

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

sin (x) + \frac{π}{2} = cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(sin (x) + \frac{π}{2})^{2} = cos^{2} (x)

Restar

cos^{2} (x)

de ambos lados

sin^{2} (x) + π sin (x) + \frac{π ^{2}}{4} - cos^{2} (x) = 0

Simplificar

sin^{2} (x) + π sin (x) + \frac{π ^{2}}{4} - cos^{2} (x) : \frac{4 sin ^{2} ( x ) + 4 π sin ( x ) + π ^{2} - 4 cos ^{2} ( x )}{4}

sin^{2} (x) + π sin (x) + \frac{π ^{2}}{4} - cos^{2} (x)

Convertir a fracción:

sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 4}{4}, π sin (x) = \frac{π sin ( x ) 4}{4}, cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{π sin ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{π ^{2}}{4} - \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 4}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4 + π sin ( x ) \cdot 4 + π ^{2} - cos ^{2} ( x ) \cdot 4}{4}

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 4 π sin ( x ) + π ^{2} - 4 cos ^{2} ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (x) + 4 π sin (x) + π^{2} - 4 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

π^{2} - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= π^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π

Simplificar

π^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π : π^{2} - 4 + 8 sin^{2} (x) + 4 π sin (x)

π^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π

= π^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin^{2} (x) + 4 π sin (x)

Expandir

- 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 + 4 sin^{2} (x)

- 4 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (x)

= π^{2} - 4 + 4 sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π

Sumar elementos similares:

4 sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) = 8 sin^{2} (x)

= π^{2} - 4 + 8 sin^{2} (x) + 4 π sin (x)

= π^{2} - 4 + 8 sin^{2} (x) + 4 π sin (x)

- 4 + π^{2} + 8 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π = 0

Usando el método de sustitución

- 4 + π^{2} + 8 sin^{2} (x) + 4 sin (x) π = 0

Sea:

sin (x) = u

- 4 + π^{2} + 8 u^{2} + 4 u π = 0

- 4 + π^{2} + 8 u^{2} + 4 u π = 0 : u = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}, u = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

- 4 + π^{2} + 8 u^{2} + 4 u π = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 4 π u - 4 + π^{2} = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

8 u^{2} + 4 π u - 4 + π^{2} = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 8, b = 4 π, c = - 4 + π^{2}

u_{1, 2} = \frac{- 4 π \pm ( 4 π ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 + π ^{2} )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 4 π \pm ( 4 π ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 + π ^{2} )}{2 \cdot 8}

Simplificar

(4 π)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4 + π^{2}) : i 16 π^{2} - 128

(4 π)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4 + π^{2})

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} π^{2} - 4 \cdot 8 (π^{2} - 4)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 8 = 32

= 4^{2} π^{2} - 32 (π^{2} - 4)

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 32 (π^{2} - 4) - 4^{2} π^{2}

- 4^{2} π^{2} + 32 (- 4 + π^{2}) = 16 π^{2} - 128

- 4^{2} π^{2} + 32 (- 4 + π^{2})

4^{2} = 16

= - 16 π^{2} + 32 (π^{2} - 4)

Expandir

- 16 π^{2} + 32 (- 4 + π^{2}) : 16 π^{2} - 128

- 16 π^{2} + 32 (- 4 + π^{2})

Expandir

32 (- 4 + π^{2}) : - 128 + 32 π^{2}

32 (- 4 + π^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 32, b = - 4, c = π^{2}

= 32 (- 4) + 32 π^{2}

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 32 \cdot 4 + 32 π^{2}

Multiplicar los numeros:

32 \cdot 4 = 128

= - 128 + 32 π^{2}

= - 16 π^{2} - 128 + 32 π^{2}

Simplificar

- 16 π^{2} - 128 + 32 π^{2} : 16 π^{2} - 128

- 16 π^{2} - 128 + 32 π^{2}

Agrupar términos semejantes

= - 16 π^{2} + 32 π^{2} - 128

Sumar elementos similares:

- 16 π^{2} + 32 π^{2} = 16 π^{2}

= 16 π^{2} - 128

= 16 π^{2} - 128

= 16 π^{2} - 128

= i 16 π^{2} - 128

u_{1, 2} = \frac{- 4 π \pm i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8} : - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

\frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{16}

Reescribir

\frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{16}

en la forma binómica:

- \frac{π}{4} + \frac{16 π ^{2} - 128}{16} i

\frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{16}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 4 π + i 16 π ^{2} - 128}{16} = - \frac{4 π}{16} + \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

= - \frac{4 π}{16} + \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

Cancelar

\frac{4 π}{16} : \frac{π}{4}

\frac{4 π}{16}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4} + \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

= - \frac{π}{4} + \frac{16 π ^{2} - 128}{16} i

u = \frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8} : - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

\frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{16}

Reescribir

\frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{16}

en la forma binómica:

- \frac{π}{4} - \frac{16 π ^{2} - 128}{16} i

\frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{16}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 4 π - i 16 π ^{2} - 128}{16} = - \frac{4 π}{16} - \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

= - \frac{4 π}{16} - \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

Cancelar

\frac{4 π}{16} : \frac{π}{4}

\frac{4 π}{16}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4} - \frac{i 16 π ^{2} - 128}{16}

= - \frac{π}{4} - \frac{16 π ^{2} - 128}{16} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}, u = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}, sin (x) = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

sin (x) = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}, sin (x) = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

sin (x) = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{π}{4} + i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{π}{4} - i \frac{- 128 + 16 π ^{2}}{16}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

sin (x) + \frac{π}{2} = cos (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Gráfica

Ejemplos populares

5cos(x)-3=9cos(x)-5

3sin^2(x)-8sin(x)+4=0

3tan(x)=tan(2x)

cos(4x)+sin(6x)=0

-15.44=-2sin(-3θ+300)