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Popular Trigonometría >

(tan(x))/(cos(x))= 2/3

Solución

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} = \frac{2}{3}

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} = \frac{2}{3}

Restar

\frac{2}{3}

de ambos lados

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} - \frac{2}{3} = 0

Simplificar

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} - \frac{2}{3} : \frac{3 tan ( x ) - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} - \frac{2}{3}

Mínimo común múltiplo de

cos (x), 3 : 3 cos (x)

cos (x), 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (x)

3

= 3 cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{tan ( x )}{cos ( x )} = \frac{tan ( x ) \cdot 3}{cos ( x ) \cdot 3}

Para

\frac{2}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{2}{3} = \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

= \frac{tan ( x ) \cdot 3}{cos ( x ) \cdot 3} - \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( x ) \cdot 3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

\frac{3 tan ( x ) - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 tan (x) - 2 cos (x) = 0

Expresar con seno, coseno

- 2 cos (x) + 3 tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 2 cos (x) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

- 2 cos (x) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 3 sin ( x )}{cos ( x )}

- 2 cos (x) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

= - 2 cos (x) + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir a fracción:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( x ) cos ( x ) + sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

- 2 cos (x) cos (x) + sin (x) \cdot 3 = - 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x)

- 2 cos (x) cos (x) + sin (x) \cdot 3

2 cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x)

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 3 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 3 sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 3 sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 (1 - sin^{2} (x)) + 3 sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 + 3 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 + 3 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 2

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

Desarrollar

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u : - 2 + 2 u^{2} + 3 u

- (1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

= - 2 (1 - u^{2}) + 3 u

Expandir

- 2 (1 - u^{2}) : - 2 + 2 u^{2}

- 2 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = u^{2}

= - 2 \cdot 1 - (- 2) u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 u^{2}

= - 2 + 2 u^{2} + 3 u

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 5

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Sumar:

9 + 16 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2} : - 2

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

Restar:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2}, u = - 2

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 2

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 2

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - 2 :

Sin solución

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(x)+2cos(x)csc(x)=sec(x)cos(x)+cot(x)

cos(x)=1.22719

cos(a)=(sqrt(5))/5

5sec^2(x)-5=0,0<= x<2pi

2sin(5x)+3=2