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Popular Trigonometría >

cos(x)-cos(x+pi/4)=0

Solución

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4}) = 0

Solución

x = 2 πn - \frac{π}{8}, x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

Grados

x = - 22. 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 157. 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4}) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4})

Utilizar la identidad suma-producto:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

Simplificar

- 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2}) : 2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8})

- 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2} = \frac{8 x + π}{8}

\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= \frac{2 x + \frac{π}{4}}{2}

Simplificar

2 x + \frac{π}{4}

en una fracción:

\frac{8 x + π}{4}

2 x + \frac{π}{4}

Convertir a fracción:

2 x = \frac{2 x 4}{4}

= \frac{2 x \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 x \cdot 4 + π}{4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8 x + π}{4}

= \frac{\frac{8 x + π}{4}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{8 x + π}{4 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{8 x + π}{8}

= - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2} = - \frac{π}{8}

\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Expandir

x - (x + \frac{π}{4}) : - \frac{π}{4}

x - (x + \frac{π}{4})

- (x + \frac{π}{4}) : - x - \frac{π}{4}

- (x + \frac{π}{4})

Poner los parentesis

= - (x) - (\frac{π}{4})

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - x - \frac{π}{4}

= x - x - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

x - x = 0

= - \frac{π}{4}

= \frac{- \frac{π}{4}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{π}{4}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{4 \cdot 2}

= - \frac{π}{4 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= - \frac{π}{8}

= - 2 sin (- \frac{π}{8}) sin (\frac{8 x + π}{8})

sin (- \frac{π}{8}) = - \frac{2 - 2}{2}

sin (- \frac{π}{8})

Utilizar la siguiente propiedad:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- \frac{π}{8}) = - sin (\frac{π}{8})

= - sin (\frac{π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (\frac{π}{8}) = \frac{2 - 2}{2}

sin (\frac{π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

sin (\frac{π}{8})

Escribir

sin (\frac{π}{8})

como

sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

= sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

Utilizar la identidad trigonométrica del medio ángulo:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Sustituir

θ

con

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Intercambiar lados

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Dividir ambos lados entre

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Raíz cuadrada de ambos lados

Elige el signo de la raíz según el cuadrante de

\frac{θ}{2}

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Simplificar

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Simplificar

1 - \frac{2}{2}

en una fracción:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2}{4}

= \frac{2 - 2}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 2}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{2 - 2}{2}

= - \frac{2 - 2}{2}

= - 2 (- \frac{2 - 2}{2}) sin (\frac{8 x + π}{8})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) \frac{2 - 2}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 2}{2} sin (\frac{8 x + π}{8})

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (\frac{8 x + π}{8}) 2 - 2

= 2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8})

2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Dividir ambos lados entre

2 - 2

2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Dividir ambos lados entre

2 - 2

\frac{2 - 2 sin ( \frac{8 x + π}{8} )}{2 - 2} = \frac{0}{2 - 2}

Simplificar

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Soluciones generales para

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn, \frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn, \frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Resolver

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn : x = 2 πn - \frac{π}{8}

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = 2 πn

Multiplicar ambos lados por

8

\frac{8 x + π}{8} = 2 πn

Multiplicar ambos lados por

8

\frac{8 ( 8 x + π )}{8} = 8 \cdot 2 πn

Simplificar

8 x + π = 16 πn

8 x + π = 16 πn

Desplace

π

a la derecha

8 x + π = 16 πn

Restar

π

de ambos lados

8 x + π - π = 16 πn - π

Simplificar

8 x = 16 πn - π

8 x = 16 πn - π

Dividir ambos lados entre

8

8 x = 16 πn - π

Dividir ambos lados entre

8

\frac{8 x}{8} = \frac{16 πn}{8} - \frac{π}{8}

Simplificar

x = 2 πn - \frac{π}{8}

x = 2 πn - \frac{π}{8}

Resolver

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn : x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

8

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

8

\frac{8 ( 8 x + π )}{8} = 8 π + 8 \cdot 2 πn

Simplificar

8 x + π = 8 π + 16 πn

8 x + π = 8 π + 16 πn

Desplace

π

a la derecha

8 x + π = 8 π + 16 πn

Restar

π

de ambos lados

8 x + π - π = 8 π + 16 πn - π

Simplificar

8 x = 7 π + 16 πn

8 x = 7 π + 16 πn

Dividir ambos lados entre

8

8 x = 7 π + 16 πn

Dividir ambos lados entre

8

\frac{8 x}{8} = \frac{7 π}{8} + \frac{16 πn}{8}

Simplificar

x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

x = 2 πn - \frac{π}{8}, x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(x)=0.7597

cos(3x)=-3cos(x)

cos(x)= 280/2000

4cos(θ)=sqrt(2)+2cos(θ)

solvefor x,T(6)=3.15cos(pi/6 x)+19.15