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Popular Trigonometría >

arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

Solución

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Solución

x = 0, x = - 1, x = 1

Pasos de solución

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Restar

arctan (x)

de ambos lados

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Resolver

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Simplificar

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} : \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Simplificar

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

en una fracción:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Mínimo común múltiplo de

3, 2 : 6

3, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

2

= 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{x}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Para

\frac{x}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Sumar elementos similares:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Simplificar

1 - \frac{x ^{2}}{6}

en una fracción:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

Multiplicar

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Eliminar los terminos comunes:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Simplificar

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

en una fracción:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Mínimo común múltiplo de

3, 2 : 6

3, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

2

= 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{x}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Para

\frac{x}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Sumar elementos similares:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Simplificar

1 - \frac{x ^{2}}{6}

en una fracción:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

Simplificar

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

en una fracción:

\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

Sumar elementos similares:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Simplificar

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

en una fracción:

\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

Convertir a fracción:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Multiplicar

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Eliminar los terminos comunes:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

Eliminar los terminos comunes:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

Expandir

5 x - (6 - x^{2}) x : - x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

Expandir

- x (6 - x^{2}) : - 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

Sumar elementos similares:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

Eliminar los terminos comunes:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

Resolver

- x + x^{3} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

Factorizar

- x + x^{3} : x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

Factorizar el termino común

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

Factorizar el termino común

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

Factorizar

x^{2} - 1 : (x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

Resolver

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

x = - 1

x = - 1

Resolver

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

x = 1

x = 1

Las soluciones son

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = 6, x = - 6

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

y comparar con cero

Resolver

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0 : x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Desplace

1

a la derecha

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

Simplificar

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

Multiplicar ambos lados por

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

Los siguientes puntos no están definidos

x = 6, x = - 6

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

0 :

Verdadero

0

Sustituir

n = 1

0

Multiplicar

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

por

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- 1 :

Verdadero

- 1

Sustituir

n = 1

- 1

Multiplicar

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

por

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

Simplificar

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

1 :

Verdadero

1

Sustituir

n = 1

1

Multiplicar

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

por

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = 0, x = - 1, x = 1

Gráfica

Ejemplos populares

solvefor w,y=arctan(1+4w)

cos(8x)=1

cos^4(a)=8cos^4(a)-8cos^2(a)+1

sin^2(a)-4sin(a)+3=0

4sin^2(x)-4cos(x)-1=0