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Popolare Trigonometria >

2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

Soluzione

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Soluzione

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Gradi

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Risolvi per sostituzione

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Sia:

sin (x) = u

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0 : u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Fattorizza

u^{3} + 2 u^{2} - 1 : (u + 1) (u^{2} + u - 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + u - 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{3} + 2 u^{2} - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quoziente = u^{2}

Moltiplica

u + 1

per

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Sottrarre

u^{3} + u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = u^{2} - 1

Quindi

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

= u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{2} - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quoziente = u

Moltiplica

u + 1

per

u : u^{2} + u

Sottrarre

u^{2} + u

u^{2} - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u - 1

Quindi

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{2} + u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quoziente = - 1

Moltiplica

u + 1

per

- 1 : - u - 1

Sottrarre

- u - 1

- u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{2} + u - 1

= (u + 1) (u^{2} + u - 1)

(u + 1) (u^{2} + u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} + u - 1 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u^{2} + u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} + u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Aggiungi i numeri:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Le soluzioni sono

u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Nessuna soluzione

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2cos^2(x)=3cos(x)-1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

3cos^2(x)-10cos(x)+3=0

(m+1)sin(x)+2-m=0

sin^5(x)+sin(x)+2sin^2(x)=1