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Popular Trigonometría >

cos^4(x)-2sin^2(x)-1=0

Solución

cos^{4} (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 = 0

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{4} (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{4} (x) - 2 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 + cos^{4} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 1 + cos^{4} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) : cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 3

- 1 + cos^{4} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

- 2 (1 - cos^{2} (x)) : - 2 + 2 cos^{2} (x)

- 2 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (x)

= - 1 + cos^{4} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x)

Simplificar

- 1 + cos^{4} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x) : cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 3

- 1 + cos^{4} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2

Restar:

- 1 - 2 = - 3

= cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 3

= cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 3

= cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) - 3

- 3 + cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 + cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 3 + u^{4} + 2 u^{2} = 0

- 3 + u^{4} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1, u = 3 i, u = - 3 i

- 3 + u^{4} + 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + 2 u^{2} - 3 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} + 2 v - 3 = 0

Resolver

v^{2} + 2 v - 3 = 0 : v = 1, v = - 3

v^{2} + 2 v - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

v^{2} + 2 v - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 2, c = - 3

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= 4 + 12

Sumar:

4 + 12 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 4}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot 1}

v = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- 2 + 4}{2 \cdot 1}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 4 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 2 - 4}{2 \cdot 1}

Restar:

- 2 - 4 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{2}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= - 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 1, v = - 3

v = 1, v = - 3

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar la regla

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Resolver

u^{2} = - 3 : u = 3 i, u = - 3 i

u^{2} = - 3

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 3, u = - - 3

Simplificar

- 3 : 3 i

- 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 3 i

Simplificar

- - 3 : - 3 i

- - 3

Simplificar

- 3 : 3 i

- 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 3 i

= - 3 i

u = 3 i, u = - 3 i

Las soluciones son

u = 1, u = - 1, u = 3 i, u = - 3 i

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - 1, cos (x) = 3 i, cos (x) = - 3 i

cos (x) = 1, cos (x) = - 1, cos (x) = 3 i, cos (x) = - 3 i

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluciones generales para

cos (x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = 3 i :

Sin solución

cos (x) = 3 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - 3 i :

Sin solución

cos (x) = - 3 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

d^2(1+cos(x))-(1+cos(x))^2=sin^2(x)

cos^4(x)-2cos^2(x)+1=0

sin^2(x)+cos^2(x)+cos(x)=2

(sin^3(x))/(sin(x))=0

sin(135-x)=sin(x)