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Beliebt Trigonometrie >

5sec(x)-4cos(x)=8

Lösung

5 sec (x) - 4 cos (x) = 8

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sec (x) - 4 cos (x) = 8

Subtrahiere

8

von beiden Seiten

5 sec (x) - 4 cos (x) - 8 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 8 - 4 cos (x) + 5 sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 8 - 4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 5 sec (x)

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{4}{sec ( x )}

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sec ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sec ( x )}

= - 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x)

- 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0 : u = 2, u = - \frac{2}{5}

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 8 u - \frac{4}{u} u + 5 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- 8 u - \frac{4}{u} u + 5 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- \frac{4}{u} u : - 4

- \frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 4

Vereinfache

5 uu : 5 u^{2}

5 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 5 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 5 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

Löse

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0 : u = 2, u = - \frac{2}{5}

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 8 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 8 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 8, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 (- 4) = 12

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 4 = 80

= 8^{2} + 80

8^{2} = 64

= 64 + 80

Addiere die Zahlen:

64 + 80 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 12}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5} : 2

\frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 12}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

8 + 12 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{20}{10}

Teile die Zahlen:

\frac{20}{10} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5} : - \frac{2}{5}

\frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 12}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 12 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 4}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = - \frac{2}{5}

u = 2, u = - \frac{2}{5}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = - \frac{2}{5}

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2}{5} :

Keine Lösung

sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^3(x)=-1

sin^{3} (x) = - 1

solvefor x,sin^2(x)=((1-cos(y)))/2

so l v e f or x, sin^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( y ) )}{2}

sin(x)+sin^2(x)+cos(x)+cos^2(x)=0

sin (x) + sin^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

4cos^2(x)-4sin(x)-1=0

4 cos^{2} (x) - 4 sin (x) - 1 = 0

cos^2(x)+1=-2cos(x)

cos^{2} (x) + 1 = - 2 cos (x)