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verificar sin^4(u)-cos^4(u)=2sin^2(u)-1

Solución

verificar

sin^{4} (u) - cos^{4} (u) = 2 sin^{2} (u) - 1

Verdadero

Pasos de solución

sin^{4} (u) - cos^{4} (u) = 2 sin^{2} (u) - 1

Manipular el lado derecho

sin^{4} (u) - cos^{4} (u)

Factorizar

- cos^{4} (u) + sin^{4} (u) : (sin^{2} (u) + cos^{2} (u)) (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

- cos^{4} (u) + sin^{4} (u)

Reescribir

sin^{4} (u) - cos^{4} (u)

como

(sin^{2} (u))^{2} - (cos^{2} (u))^{2}

sin^{4} (u) - cos^{4} (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (u) = (sin^{2} (u))^{2}

= (sin^{2} (u))^{2} - cos^{4} (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (u) = (cos^{2} (u))^{2}

= (sin^{2} (u))^{2} - (cos^{2} (u))^{2}

= (sin^{2} (u))^{2} - (cos^{2} (u))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (u))^{2} - (cos^{2} (u))^{2} = (sin^{2} (u) + cos^{2} (u)) (sin^{2} (u) - cos^{2} (u))

= (sin^{2} (u) + cos^{2} (u)) (sin^{2} (u) - cos^{2} (u))

Factorizar

sin^{2} (u) - cos^{2} (u) : (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

sin^{2} (u) - cos^{2} (u)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (u) - cos^{2} (u) = (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

= (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

= (sin^{2} (u) + cos^{2} (u)) (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

= (- cos (u) + sin (u)) (cos (u) + sin (u)) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(- cos (u) + sin (u)) (cos (u) + sin (u)) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Expandir

(sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u)) : sin^{2} (u) - cos^{2} (u)

(sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sin (u), b = cos (u)

= sin^{2} (u) - cos^{2} (u)

= (sin^{2} (u) - cos^{2} (u)) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos^{2} (u) - sin^{2} (u) = cos (2 u)

- cos^{2} (u) + sin^{2} (u) = - cos (2 u)

= (- cos (2 u)) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Simplificar

= - cos (2 u) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - (1 - 2 sin^{2} (u)) (cos^{2} (u) + sin^{2} (u))

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - (1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 1

Simplificar

- (1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 1 : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 1

Multiplicar:

(1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 1 = (1 - 2 sin^{2} (u))

= - (- 2 sin^{2} (u) + 1)

Poner los parentesis

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) - 1

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero