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受欢迎的三角函数 >

证明 sec(θ)-tan(θ)=(cos(θ))/(1+sin(θ))

解答

证明

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

解答

真

求解步骤

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

调整左侧

sec (θ) - tan (θ)

用 sin, cos 表示

sec (θ) - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用三角恒等式改写

乘以

\frac{1 + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

乘开

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

约分:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

cos (3 x) = - 1

tan (θ) = - 1

证明 (sin(θ)+cos(θ))^2=1+sin(2θ)

p ro v e (sin (θ) + cos (θ))^{2} = 1 + sin (2 θ)

sin(x)+cos(x)=sqrt(2)

sin (x) + cos (x) = 2

sin (- \frac{3 π}{4})