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Populaire Trigonométrie >

sin(2pii)

Solution

sin (2 πi)

Solution

i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

étapes des solutions

sin (2 πi)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

sin (2 πi)

Utiliser les identités suivantes:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (0) = 0

sin (0)

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

cosh (2 π) = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

cosh (2 π)

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

Relier

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}

Convertir un élément en fraction:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} + \frac{1}{e ^{2 π}}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} + 1 = e^{4 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

Additionner les éléments similaires :

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} + 1

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (0) = 1

cos (0)

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

sinh (2 π) = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

sinh (2 π)

Use the Hyperbolic identity:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

Relier

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}

Convertir un élément en fraction:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} - \frac{1}{e ^{2 π}}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} - 1 = e^{4 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

Additionner les éléments similaires :

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} - 1

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= 0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

Simplifier

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} : i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} = 0

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} = \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Multiplier:

1 \cdot \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

= 0 + \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

0 + \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Récrire

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

sous la forme complexe standard :

\frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Développer

i (e^{4 π} - 1) : i e^{4 π} - i

i (e^{4 π} - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{4 π}, c = 1

= i e^{4 π} - i 1

= i e^{4 π} - 1 i

Multiplier:

1 i = i

= i e^{4 π} - i

= \frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}} = \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

Annuler

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Annuler

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4 π}}{e ^{2 π}} = e^{4 π - 2 π}

= \frac{i e ^{4 π - 2 π}}{2}

Soustraire les nombres :

4 π - 2 π = 2 π

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}) i

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

Plus petit commun multiple de

2, 2 e^{2 π} : 2 e^{2 π}

2, 2 e^{2 π}

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

2, 2 : 2

2, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

2

2

= 2

Multiplier les nombres :

2 = 2

= 2

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

2

ou dans

2 e^{2 π}

= 2 e^{2 π}

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

2 e^{2 π}

Pour

\frac{e ^{2 π}}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

e^{2 π}

\frac{e ^{2 π}}{2} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Exemples populaires

cos(arccos(-0.6))

1.5*sin(30)

sin(1/2 arcsin(-7/25))

cos(36)-cos(72)

(3500sin(2))/(sin(58))