展開する (1+(x+iy)^3)^2

解

展開する

(1 + (x + i y)^{3})^{2}

(1 + 2 x^{3} - 6 x y^{2} + x^{6} - 15 x^{4} y^{2} + 15 x^{2} y^{4} - y^{6}) + (6 x^{2} y - 2 y^{3} + 6 x^{5} y - 20 x^{3} y^{3} + 6 x y^{5}) i

解答ステップ

(1 + (x + i y)^{3})^{2}

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(1 + (x + i y)^{3})^{2} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot (x + i y)^{3} + ((x + i y)^{3})^{2}

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot (x + i y)^{3} + ((x + i y)^{3})^{2}

簡素化

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot (x + i y)^{3} + ((x + i y)^{3})^{2} : 1 + 2 (x^{3} + 3 x^{2} y i - 3 x y^{2} - i y^{3}) + x^{6} + 6 x^{5} y i - 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} i y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x i y^{5} - y^{6}

= 1 + 2 (x^{3} + 3 x^{2} y i - 3 x y^{2} - i y^{3}) + x^{6} + 6 x^{5} y i - 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} i y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x i y^{5} - y^{6}

拡張

2 (x^{3} + 3 x^{2} y i - 3 x y^{2} - i y^{3}) : 2 x^{3} + 6 x^{2} y i - 6 x y^{2} - 2 i y^{3}

= 1 + 2 x^{3} + 6 x^{2} y i - 6 x y^{2} - 2 i y^{3} + x^{6} + 6 x^{5} y i - 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} i y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x i y^{5} - y^{6}

標準的な複素数形式で書き直す:

(1 + 2 x^{3} - 6 x y^{2} + x^{6} - 15 x^{4} y^{2} + 15 x^{2} y^{4} - y^{6}) + (6 x^{2} y - 2 y^{3} + 6 x^{5} y - 20 x^{3} y^{3} + 6 x y^{5}) i

= (1 + 2 x^{3} - 6 x y^{2} + x^{6} - 15 x^{4} y^{2} + 15 x^{2} y^{4} - y^{6}) + (6 x^{2} y - 2 y^{3} + 6 x^{5} y - 20 x^{3} y^{3} + 6 x y^{5}) i