簡約 log_{e}((n!)/((n-x)!x!)(Y)^x(1-Y)^{n-x})

解

簡約

lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !} (Y)^{x} (1 - Y)^{n - x})

ln (n!) - ln ((n - x)!) - ln (x!) + x ln (Y) + n ln (1 - Y) - x ln (1 - Y)

解答ステップ

lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !} (Y)^{x} (1 - Y)^{n - x})

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b)

lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !} Y^{x} (1 - Y)^{n - x}) = lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !}) + lo g_{e} (Y^{x}) + lo g_{e} ((1 - Y)^{n - x})

= lo g_{e} (\frac{n !}{x ! ( - x + n ) !}) + lo g_{e} (Y^{x}) + lo g_{e} ((- Y + 1)^{- x + n})

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

lo g_{e} (Y^{x}) = x lo g_{e} (Y)

= lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !}) + x lo g_{e} (Y) + lo g_{e} ((1 - Y)^{n - x})

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

lo g_{e} ((1 - Y)^{n - x}) = (n - x) lo g_{e} (1 - Y)

= lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !}) + x lo g_{e} (Y) + (n - x) lo g_{e} (1 - Y)

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (\frac{a}{b}) = lo g_{c} (a) - lo g_{c} (b)

lo g_{e} (\frac{n !}{( n - x ) ! x !}) = lo g_{e} (n!) - lo g_{e} ((n - x)! x!)

= lo g_{e} (n!) - lo g_{e} (x! (- x + n)!) + x lo g_{e} (Y) + lo g_{e} (- Y + 1) (- x + n)

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b)

lo g_{e} ((n - x)! x!) = lo g_{e} ((n - x)!) + lo g_{e} (x!)

= lo g_{e} (n!) - (lo g_{e} ((- x + n)!) + lo g_{e} (x!)) + x lo g_{e} (Y) + lo g_{e} (- Y + 1) (- x + n)

lo g_{e} (n!) = ln (n!)

- (lo g_{e} ((n - x)!) + lo g_{e} (x!)) = - (ln ((n - x)!) + ln (x!))

x lo g_{e} (Y) = x ln (Y)

(n - x) lo g_{e} (1 - Y) = ln (1 - Y) (n - x)

= ln (n!) - (ln ((- x + n)!) + ln (x!)) + x ln (Y) + ln (- Y + 1) (- x + n)

= ln (n!) - (ln ((n - x)!) + ln (x!)) + x ln (Y) + ln (1 - Y) (n - x)

- (ln ((n - x)!) + ln (x!)) : - ln ((n - x)!) - ln (x!)

= ln (n!) - ln ((n - x)!) - ln (x!) + x ln (Y) + (n - x) ln (1 - Y)

拡張

ln (1 - Y) (n - x) : n ln (1 - Y) - x ln (1 - Y)

= ln (n!) - ln ((n - x)!) - ln (x!) + x ln (Y) + n ln (1 - Y) - x ln (1 - Y)