integral of (e^{-x})/((9e^{-2x)+1)^{3/2}}

Lösung

\int \frac{e ^{- x}}{( 9 e ^{- 2 x} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{- x}}{( 9 e ^{- 2 x} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{( 9 u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{( 9 u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= - \int \frac{1}{3 sec ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= - \frac{1}{3} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= - \frac{1}{3} sin (v)

Ersetze zurück

= - \frac{1}{3} sin (arctan (3 e^{- x}))

Vereinfache

- \frac{1}{3} sin (arctan (3 e^{- x})) : - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}} + C