integral of 1/((sin(x)+cos(x))^2)

Lösung

\int \frac{1}{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}} d x

- \frac{1}{tan ( x ) + 1} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{1 + sin ( 2 x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( 1 + sin ( u ) )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1 + sin ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Vervollständige das Quadrat

1 + v^{2} + 2 v : (v + 1)^{2}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{( v + 1 ) ^{2}} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2}} d w

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{w})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{2 x}{2} ) + 1})

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{2 x}{2} ) + 1}) : - \frac{1}{tan ( x ) + 1}

= - \frac{1}{tan ( x ) + 1}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{tan ( x ) + 1} + C

\int 2 x^{3} e^{- 2 x} d x

x \to \frac{π}{4} lim (\frac{cos ( 2 x )}{2 cos ( x ) - 1})

cos^{2} (x) sin (x) d y + (y cos^{3} (x) - 1) d x = 0

x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 y^{3}

\frac{d}{d x} (6 ln (x^{2}))