inverselaplace (2s+1)/(2s^2+s+1)

解

逆ラプラス

\frac{2 s + 1}{2 s ^{2} + s + 1}

e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4}) + \frac{e ^{- \frac{t}{4}} sin ( \frac{7 t}{4} )}{7}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{2 s + 1}{2 s ^{2} + s + 1}}

拡張

\frac{2 s + 1}{2 s ^{2} + s + 1} : \frac{s + \frac{1}{4}}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{4}}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{4}}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}} + \frac{1}{4} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{4}}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}} : e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{4} ) ^{2} + \frac{7}{16}}} : e^{- \frac{t}{4}} \frac{4}{7} sin (\frac{7 t}{4})

= e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4}) + \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{4}} \frac{4}{7} sin (\frac{7 t}{4})

改良

e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4}) + \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{4}} \frac{4}{7} sin (\frac{7 t}{4}) : e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4}) + \frac{e ^{- \frac{t}{4}} sin ( \frac{7 t}{4} )}{7}

= e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{7 t}{4}) + \frac{e ^{- \frac{t}{4}} sin ( \frac{7 t}{4} )}{7}